Потенциальная энергия упругой деформации в общем случае нагружения бруса. Теорема Кастильяно
На основании закона сохранения энергии считается, что работа внешних сил (Р) на перемещениях точек системы (d) переходит в потенциальную энергию ее упругой деформации (U), т.е.
Основываясь на положениях этого закона, можно, зная величину потенциальной энергии упругой деформации (ПЭУД), накопленной брусом, найти перемещение ее точек при известных внешних нагрузках. Общая зависимость для ПЭУД произвольно нагруженного бруса, находящегося под воздействием разнообразных внешних нагрузок, определяется как сумма работ, совершаемых шестью внутренними силовыми факторами:
После подстановки известных зависимостей работ для простых деформаций можно получить общее выражение для нахождения ПЭУД:
где kx, ky – безразмерные коэффициенты, характеризующие форму
сечения бруса при сдвиге.
Для нахождения перемещений с помощью ПЭУД применяется так называемая теорема Кастильяно: обобщенное перемещение точки приложения некоторой обобщенной нагрузки по направлению ее действия представляет собой частную производную потенциальной энергии деформации по этой нагрузке:
где δk – обобщенное перемещение в точке к , где приложена внешняя обобщенная нагрузка;
FK – обобщенная нагрузка, действующая в точке к.
Под обобщенным перемещением понимается тот вид перемещения, на котором соответствующая обобщенная нагрузка совершает работу. В частности, при действии сосредоточенной силы работа производится на линейном перемещении, а при действии момента – на угловом перемещении :
|
|
|
 |
Недостатком теоремы Кастильяно является то, что она позволяет находить только перемещения, соответствующие данной обобщенной нагрузке, только в точке её приложения и только по направлению ее действия. Этот факт существенно ограничивает область ее применения для реальных конструкций. Поэтому предлагаются приемы по совершенствованию теоремы Кастильяно.
Метод Мора для нахождения перемещений в упругих системах
Недостатки теоремы Кастильяно можно устранить, если использовать прием Мора-Максвелла. Этот метод основан на применении так называемой фиктивной обобщенной нагрузки Φ.
Особенности применения этого метода заключаются в следующем:
1) В заданной точке расчетной схемы балки (рисунок 2.8) прикладывается обобщенная фиктивная нагрузка, которая условно принимается равной единице. Фиктивная нагрузка должна соответствовать обобщенному перемещению, которое необходимо найти, т.е.
Направление приложения фиктивной нагрузки должно соответствовать искомому направлению перемещения. Для прогиба удобно единичную силу направлять снизу вверх согласно положительному направлению прогиба, а единичный момент направляется против часовой стрелки в соответствии с положительным направлением угла поворота.
|
|
|
2) Определяется потенциальная энергия упругой деформации всей системы и, согласно теореме Кастильяно, производится расчет частной производной по приложенной фиктивной нагрузке:
(2.21)
В полученном выражении исключается фиктивная нагрузка, т.к. ее на самом деле нет. Конечная зависимость представляет собой формулу, называемую интегралом Мора. Для деформации изгиба она имеет такой вид:
где 
– изгибающий момент от действия единичной фиктивной нагрузки в сечении i системы;
– изгибающий момент от действия внешней нагрузки в сечении i.
На следующем примере (рисунок 2.9) показано определение прогиба в точке В консольной балки по методу Мора:
- выбирается вспомогательная схема, для чего на исходной схеме отбрасываются все внешние нагрузки, которая загружается соответствующей единичной нагрузкой;
- для исходной и вспомогательной схем составляются общие выражения изгибающих моментов по всем участкам балки:
|
|
|
- полученные выражения моментов подставляются в интеграл Мора, после решения которого определяется искомое перемещение балки
Достоинством метода Мора является то, что он позволяет находить различные перемещения для сложных систем. Недостатком является высокая трудоемкость при расчете систем с большим количеством силовых участков.
Для уменьшения трудоемкости таких расчетов интеграл Мора обычно заменяют произведением в соответствии со способом Верещагина.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 835; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!