Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Понятие изгиба. Нейтральная линия

Изгибом называется вид деформации, при котором происходит искривление оси бруса. В дальнейшем будем рассматривать деформацию плоского прямого изгиба, при котором силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей сечения (рисунок 1.1).

Кроме прямого изгиба, может возникать косой изгиб, при котором силовая плоскость совпадает только с одной центральной осью, т.е. проходит под некоторым углом к главным центральным осям (рисунок 1.2).

В зависимости от возникающих в балке внутренних силовых факторов (ВСФ) различают чистый и поперечный изгиб (рисунок 1.3).

Чистым изгибом называется изгиб, при котором в сечении балки действует только изгибающий момент, а поперечным называет-

ся изгиб, при котором действуют как изгибающий момент, так и поперечная сила.

В общем случае при изгибе часть слоев (волокон) бруса удлиняется, а другая часть укорачивается, т.е. в этих волокнах возникает деформация растяжения или сжатия соответственно. При этом существует такой слой, называемый нейтральным, длина которого не изменяется, хотя слой искривляется. В поперечном сечении бруса этот слой характеризуется нейтральной линией (рисунок 1.4).

Как показывают расчеты нейтральная линия проходит через главную центральную ось сечения, расположенную перпендикулярно к силовой линии.

Нейтральную линию иногда называют нулевой линией, т.к. в ее точках нормальные напряжения и продольные деформации отсутствуют, т.е. σ = 0 и ε = 0.

1.2 Напряжения при чистом изгибе. Основное условие прочности

В теории изгиба принимаются следующие допущения:

1 Справедлива гипотеза плоских сечений.

2 По высоте сечения бруса волокна не имеют веса, т.е. не давят друг на друга. Принимается упрощенная схема напряженного состояния (рисунок 1.5).

3 По ширине сечения бруса напряжения являются постоянными (рисунок 1.6).

При чистом изгибе возникают только нормальные напряжения, для расчета которых используется следующая зависимость:

где σ_y – нормальные напряжения в точке сечения бруса, находящейся на расстоянии y от нейтральной линии, мПа;

M_изг– изгибающий момент в данном сечении, Нм;

I_x – осевой момент инерции сечения относительно оси х, м⁴;

y – ордината исследуемой точки, м (рисунок 1.7).

Анализируя зависимость (1.1), можно заключить, что нормальное напряжение изменяется по линейному закону, увеличиваясь от центра сечения к его краям. Причем максимальные напряжения, возникающие в крайних волокнах, можно

определить по формуле

где – осевой момент сопротивления сечения, м³.

Зависимости (1.1) и (1.2) графически можно представить в виде следующей эпюры напряжений (рисунок 1.8).

При проектировании балочных конструкций целесообразно применять профили, имеющие рациональную форму с точки зрения полученной эпюры напряжений. Считается, что профиль (или сечение), у которого большая часть материала располагается в крайних волокнах, является рациональным. (например, двутавр, швеллер, пустотелый прямоугольник, сдвоенный уголок).

При чистом изгибе расчет на прочность по нормальным напряжениям s производится по следующему условию:

Условие (1.3) является основным условием прочности при изгибе. При помощи этого условия можно выполнить следующие виды расчетов:

– проверочный выполняется по условию (1.3);

– проектировочный выполняется по условию

– расчет максимальной грузоподъемности

При расчете на прочность балок, изготовленных из разных материалов, необходимо учитывать различную их способность сопротивляться растягивающим и сжимающим напряжениям. При этом следует придерживаться следующих рекомендаций:

1 Если балка изготовлена из пластичного материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, т.е. [σ_р] = [σ_c], то целесообразно использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. В этом случае на прочность проверяются крайние точки сечения балки,

где σ_max = |σ_min| (рисунок 1.9).

2 Если материал балки хрупкий, лучше воспринимающий сжимающие напряжения, чем растягивающие, т.е. [σ_р] < [σ_c], то целесообразно выбирать сечения несимметричные относительно нейтральной линии. Их необходимо располагать так, чтобы в растянутых волокнах напряжения были меньше по абсолютному значению, чем в сжатых волокнах, т.е. σ_max< |σ_min| (рисунок 1.10).

1.3 Напряжения при поперечном изгибе

Рассмотрим напряжения, возникающие при поперечном изгибе. В этом случае нарушается ранее принятая гипотеза о плоских сечениях, т.е. при поперечном изгибе сечения балки искривляясь не являются плоскими, что обусловливает продольное смещение волокон балки (рисунок 1.11).

Указанное смещение продольных волокон балки вызывается касательными напряжениями, которые возникают как в поперечных, так и в продольных сечениях балки (на основании закона парности касательных напряжений).

При поперечном изгибе нормальные напряжения в точках балки можно определить по известной формуле чистого изгиба

Касательные напряжения в произвольной точке сечения балки (рисунок 1.12) находятся по формуле Журавского Д.И. (1855 г.)

где τ_y – касательные напряжения в точке, расположенной на расстоянии y от оси x сечения (от нейтральной линии), мПа;

Q_y – поперечная сила, действующая в данном сечении (по знаку Q определяется знак касательных напряжений τ), Н;

– статический момент тносительно оси x той части сечения, которая отсекается заданным уровнем и ближайшим крайним волокном сечения, м³, находится по известной зависимости

;

I_x – осевой момент инерции всего сечения относительно оси x (нейтрального слоя), м⁴;

b₍_y₎ – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки (с учетом имеющихся пустот), м.

Касательные напряжения, определяемые по формуле (1.7), имеют значительную величину только для коротких балок с большой высотой сечения h>>l, в противном случае этими напряжениями в практических расчетах можно пренебречь. Анализ зависимости (1.7) показывает, что при поперечном изгибе максимальные касательные напряжения будут возникать в точках, расположенных на уровне нейтрального слоя сечения балки (рисунок 1.13).

Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе

В общем случае при изгибе любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии (рисунок 1.14), по граням которого действуют как нормальные, так и касательные напряжения

Решая обратную задачу для такого напряженного состояния, можно найти положение главной площадки a_о и величины главных напряжений σ₁, σ₃ по следующим зависимостям

Проведем анализ напряженного состояния опасных точек балки. Для этого рассмотрим расчетную схему простой балки с эпюрами поперечной силы Q и изгибающего момента M (рисунок 1.15). По высоте сечения этой балки построим эпюры нормальных, касательных и главных напряжений с учетом зависимостей (1.8)-(1.10).

В общем случае полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по следующим трем типам опасных точек.

Опасные точки I типа: по длине балки находятся в сечениях, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах сечения, где возникают максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа представляет такой вид (основное условие прочности)

Опасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид:

Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). В этих точках возникает упрощенное плоское напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).

Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблицам сортамента.

Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет рационально проектировать элементы балочных конструкций с учетом особенностей их нагружения. Так, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.

Деформации при изгибе

Общие понятия

В теории изгиба расчет на прочность балок дополняется расчетом на жесткость. При этом оценивается упругая податливость балки и определяются такие её размеры, при которых возникающие деформации не превышали бы допустимых пределов. Тогда условие жесткости можно представить в таком виде:

где f_max – максимальная расчетная деформация (линейная или угловая);

[f] – допускаемая деформация.

Рассмотрим основные параметры деформированного состояния нагруженной балки (рисунок 2.1).

Упругая линия (у.л.) – искривленная ось балки под действием нагрузки.

Прогиб (y) –– линейное перемещение центра тяжести сечения, отсчитываемое перпендикулярно к исходной оси балки, м.

Горизонтальное смещение (u) балки, обычно бесконечно малая величина, принимаемая равной 0.

Угол поворота (θ) – угловое перемещение сечения относительно начального положения (иногда может определяться как угол между касательной к упругой линии и исходной осью), град, рад.

При изгибе балки для линейных и угловых перемещений (y и θ) принимают следующие правила знаков (рисунок 2.2):

- прогибy считается положительным, если перемещение точки происходит вверх, т.е. в направлении оси у;

- угол поворота θ считается положительным при повороте сечения против часовой стрелки (это справедливо для правой системы координат, для левой-наоборот).

Между прогибом и углом поворота существует дифференциальная зависимость, которую можно получить рассматривая бесконечно малые координаты некоторой плоской кривой (рисунок 2.3).

(2.2)

На основании (2.3) угол поворота в данном сечении равен производной прогиба по абсциссе сечения.

Таким образом, для нахождения линейных или угловых деформаций в реальных балках необходимо знать её уравнение упругой линии (УУЛБ), которое в общем виде можно представить как функцию от абсциссы сечения

. (2.4)

Рассмотрим методы нахождения деформаций при изгибе, основанные на составлении и решении уравнения упругой линии балки.

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 7322; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!