Многошаговые методы. Метод Адамса. Методы прогноза–коррекции
В многошаговых методах для вычисления 
требуется не одно предыдущее значение 
, а несколько. Так, для k-шагового метода требуются значения: 
.
Метод Адамса является примером многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейший случай метода Адамса получается при 
и совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка. В практических расчетах чаще используется метод Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех значений приближенного решения. Именно этот метод называют обычно методом Адамса. Рассмотрим расчетные формулы для данного метода.
Пусть вычислены значения 
в четырех последовательных узлах 
. Формула для вычисления значения по методу Адамса имеет вид:
. (1.8)
Первые четыре значения для начала вычисления значений решения по методу Адамса получаются любым другим методом соответствующей точности, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Сравнивая метод Адамса с методом Рунге-Кутта той же точности, следует отметить его экономичность, так как он требует при вычислении лишь одного значения правой части на каждом шаге, а метод Рунге–Кутта – четырех. Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет только по известному значению 
, надо вычислить еще 
каким-либо другим способом (например, методом Рунге–Кутта), что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета.
|
|
|
Существует еще одно семейство многошаговых методов, которые используют неявные схемы, - методы прогноза и коррекции. Суть этих методов состоит в следующем.
На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы:
1) с помощью явного метода (прогноза) по известным значениям функции в предыдущих узлах находятся начальное приближение 
в новом узле;
2) используя неявный метод (корректор), в результате итераций находятся приближения 
Один из вариантов метода прогноза и коррекции может быть получен на основе метода Адамса четвертого порядка. Для этого используются следующие расчетные формулы.
На этапе прогноза используется рассмотренная выше формула (1.8), а на этапе коррекции:
(1.9)
Явная схема (1.8) используется на каждом шаге один раз, а с помощью неявной схемы (1.9) строится итерационный процесс вычисления .
Итерации можно прекратить, если две последовательные итерации дают практически одинаковые результаты. На практике, если метод k -шаговый, то итераций должно быть не более k. Дальнейшее увеличение числа итераций порядок точности не увеличивает. Если точность мала, то надо менять шаг, что в многошаговых методах затруднительно.
|
|
|
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 650; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!