Метод последовательных приближений

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Nbsp;

Содержание

Примерный тематический план проведения лабораторных работ……...5

Глава 1. Приближенные методы решения обыкновенных дифферен-циальных уравнений……………………………………………………………5

1.1. Справочные материалы по приближенным методам решения обыкно- венных дифференциальных равнений…………………………………………..5

1.1.1. Постановка задачи Коши…………………………………………...5

1.1.2. Метод последовательных приближений…………………………..7

1.1.3. Метод Эйлера………………………………………………………11

1.1.4. Метод Эйлера–Коши……………………………………………....12

1.1.5. Метод Рунге–Кутта четвертого порядка…………………………13

1.1.6. Многошаговые методы. Метод Адамса. Методы прогноза–коррекции………........................................................................................16

1.1.7. Постановка краевой задачи для обыкновенного дифферен-

циального уравнения…………………………………………………….18

1.1.8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей……………………………….18

1.1.9. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки……………………………………………21

1.2. Лабораторная работа № 1. Приближенное решение обыкновенных диф-ференциальных уравнений методом последовательных приближений..........22

1.3. Лабораторная работа № 2. Приближенное решение обыкновенных диф-ференциальных уравнений. Методы Эйлера, Эйлера–Коши, Рунге–Кутта………………………………………………….........................................25

1.4. Лабораторная работа № 3. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса. Методы прогноза-коррекции………………………………………………………..………………26

1.5. Лабораторная работа № 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей………………28

1.6. Лабораторная работа № 5. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки…………………………..29

Глава 2. Приближенные методы решения дифференциальных уравне-

ний с частными производными……………………………………………..30

2.1 Справочный материал по приближенным методам решения диффе-ренциальных уравнений счастными производными…………………………30

2.1.1.Постановка задачи Дирихле. Приближенное решение уравнения Лапласа…………………………………………………………………...30

2.1.2. Итерационный метод решения системы конечно-раз-

ностных уравнений (процесс усреднения Либмана)…………………..32

2.2. Лабораторная работа № 6. Метод сеток для задачи Дирихле ………….35

2.3. Лабораторная работа № 7. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (процесс усреднения Либмана)……………36

Глава 3. Приближенные методы решения интегральных уравне-

ний……………………………………………………………………………….36

3.1. Справочный материал по приближенным методам решения интег-ральных уравнений (уравнение Фредгольма второго рода)…………………36

3.2. Лабораторная работа № 8. Решение уравнения Фредгольмам

второго рода методом конечных сумм………………………………………..38

Глава 4. Статистическая обработка данных………………………………40

4.1. Справочный материал по статистической обработке данных………......40

4.2. Лабораторная работа № 9. Методы обработки статистических

данных …………………………………………………………………………..41

Список литературы……………………………………………………………...49

Примерный тематический план проведения лабораторных работ

В тематическом плане приведено примерное планирование часов, которые отводятся на каждую лабораторную работу.

В зависимости от используемого программного обеспечения число часов, необходимых для выполнения заданий, может быть уменьшено.

Тематический план проведения лабораторных работ

1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом последовательных приближений – 4 часа.

2. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера, Эйлера Коши, Рунге-Кутта – 4 часа.

3. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса. Методы прогноза-коррекции – 4 часа.

4. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом конечных разностей – 2 часа

5. Приближенное решение диф. уравнений методом прогонки – 4 часа.

6. Метод сеток для задачи Дирихле – 4 часа.

7. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (процесс усреднения Либмана) – 4 часа.

8. Решение уравнения Фредгольма второго рода методом конечных сумм – 4 часа.

9. Метод обработки статистических данных – 4 часа.

Глава 1. Приближенные методы решения обыкновенных дифферен-циальных уравнений

Справочные материалы по приближенным методам решения обыкновенных дифференциальных равнений

Постановка задачи Коши

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

. (1.1)

Основная задача, связанная с этим уравнением – задача Коши состоит в следующем: найти решение уравнения (1.1) в виде функции удовлетворяющей начальному условию:

. (1.2)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую проходящую через заданную точку при выполнения равенства (1.1). Существование и единственность решения уравнения (1.1) обеспечивается следующей теоремой.

Теорема Пикара:Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G, определённой неравенствами:

(1.3)

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у: , то на некотором отрезке , где h – положительное число, существует, и притом только одно, решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальному условию .

Здесь М – постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от а и b.

Если f(x, y) имеет ограниченную в G производную , то при можно принять .

В классическом анализе разработаны методы нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные (или специальные) функции. На практике эти методы очень часто оказываются либо совсем беспомощными, либо их использование требует трудных вычислений и времени.

Для решения практических задач созданы методы приближённого решения дифференциальных уравнений.

Пусть требуется на отрезке [х₀, х₀₀+Н] найти решение уравнения (1.1) при начальном условии (1.2).

Разобьём отрезок на п равных частей точками: , где .

Численное решение дифференциального уравнения (1.1) заключается в том, что значение искомой функции вычисляется в каждой точке . При этом, как правило, для вычисления значения используется уже вычисленное значение .

Для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений существуют различные методы:

1. Аналитические методы, применение которых дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графиков.

3. Численные методы (табличные), при использовании которых искомая функция получается в виде таблицы.

Ниже рассматриваются относящиеся к указанным группам некоторые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (1.1).

Метод последовательных приближений

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием .

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение , получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекурсивной формуле

. (1.4)

Если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике , содержащем множество точек , для которых выполняются условия удовлетворяет условию Липшица по :

то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к точному решению задачи Коши.

Если непрерывна в области , то оценка погрешности приближенного решения на отрезке дается неравенством:

, (1.5)

где , а число определяется из условия:

Пример 1.1. Найти три последовательных приближения решения уравнения:

с начальным условием Оценить погрешность третьего приближения на отрезке .

Решение. Учитывая начальное условие, заменим уравнение интегральным

В качестве начального приближения возьмем . Первое приближение находим по формуле (1.4):

Аналогично получаем второе и третье приближения:

Оценим погрешность последнего приближения по формуле (1.5). Так как функция , то она определена и непрерывна во всей плоскости и в качестве и можно взять любые числа. Возьмем для определенности . При таких ограничениях получаем:

Таким образом, на отрезке [0; 0.4] получаем

и, следовательно:

Замечание: Оценка погрешности по формуле (1.5) часто оказывается завышенной. Практически, применяя метод последовательных приближений, вычисления продолжают до такого при котором значения совпадают в пределах допустимой точности.

Пример 1.2. Дана система

с начальными условиями Методом последовательных приближений найти решение этой системы на отрезке [0; 0,3] с точностью до .

Решение: Записываем систему в интегральной форме:

используя начальные значения, из системы находим , . В качестве начальных приближений выберем:

При выборе начальных приближений используем первые два члена разложения функций в окрестности точки

Вычислим следующие приближения и :

Аналогично получаем:

Оценим разности и на отрезке [0; 0.3]:

Эти разности находятся в пределах заданной точности, причем члены, содержащие , малы на отрезке [0; 0,3]. Следовательно, с заданной точностью можно положить

, .

Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение с начальным условием .

Выбрав достаточно малый шаг , построим систему равноотстоящих узлов , ( ).

Приближенные значения по методу Эйлера вычисляются последовательно по формулам:

( )

При оценке погрешности обычно используется двойной пересчет.

Если – вычисленное значение с шагом , а – соответствующее узловое значение, полученное с шагом h, то для ориентировочной оценки погрешности последнего значения можно использовать формулу:

Пример 1.3. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [0,1] таблицу значений решения уравнения:

с начальным условием , выбрав шаг .

Решение дифференциального уравнения приведено в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Приближенное решение уравнения примера 1.3 методом Эйлера

№ шага				Точное решение
0	0	1,0000	0,2000	1,0000
1	0,2	1,2000	0,1733	1,1832
2	0,4	1,3733	0,1561	1,3416
3	0,6	1,5294	0,1492	1,4832
4	0,8	1,6786	0,1451	1,6124
5	1,0	1,8237		1,7320

Рассмотрим пример вычисления :

Для остальных значений вычисления проводятся аналогично.

1.1.4. Метод Эйлера–Коши

Метод Эйлера–Коши является модификацией метода Эйлера. Вычисления табличных значений решения и оценка погрешности проводятся по следующим формулам.

где – точное значение решения в узле , , – приближенные значения решения в узле с шагом – соответственно.

Таблица 1.2

Приближенное решение уравнения примера 1.3 методом Эйлера–Коши

№ шага				Точное решение
0	0	1,0000	0,1867	1,0000
1	0,2	1,1867	0,1617	1,1832
2	0,4	1,3484	0,1454	1,3416
3	0,6	1,4938	0,1341	1,4832
4	0,8	1,6272	0,1263	1,6124
5	1,0	1,7542		1,7320

Рассмотрим применение метода Эйлера–Коши для примера 1.3, решенного выше методом Эйлера.

Покажем пример вычисления :

, .

Остальные значения проводятся аналогично. Результаты счета приведены в таблице 1.2.

1.1.5. Метод Рунге–Кутта четвертого порядка

Рассмотрим метод Рунге–Кутта четвёртого порядка для нахождения численного решения уравнения (1.1) с начальным условием (1.2).

Пусть является начальным условием (при ), либо получено как результат предыдущего шага. Для получения следующего значения вначале вычисляются числа:

, (1.6)

где h – шаг интегрирования.

Затем вычисляют: .

Новое значение функции вычисляется по формуле:

. (1.7)

Метод Рунге–Кутта четвертого порядка является методом повышенной точности. На практике для контроля точности этого метода используется двойной счет пересчет.

Если – вычисленное значение с шагом , а – соответствующее узловое значение, полученное с шагом h, то для приближенной оценки погрешности значения можно использовать формулу:

Пример 1.4. Решить методом Рунге–Кутта уравнение на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,2:

Результаты вычислений оформим в виде таблицы 1.3.

Таблица 1.3

Результаты приближенного решения примера 1.4 методом Рунге–Кутта

четвертого порядка


0	0,0	1,0000	0,2000	0,1980	0,2000	0,1916	0,1972
1	0,2	1,1972	0,1916	0,1810	0,4000	0,1653	0,1799
2	0,4	1,3771	0,1653	0,1460	0,6000	0,1218	0,1448
3	0,6	1,5219	0,1217	0,0950	0,8000	0,0646	0,0941
4	0,8	1,6160	0,0646	0,0330	1,0000	0,0000	0,0326
5	1,0	1,6486