Операции наращения и дисконтирования с использованием простых и сложных процентов. Внутригодовые процентные начисления. Периодическая и эффективная годовая процентные ставки
Временная стоимость денег может быть выражена несложной зависимостью (формулой) математического дисконтирования:
| PV = FV / | ( | + r | ) | , | (4.1) | |
| 1 | ||||||
| где PV - | текущая (дисконтированная) | стоимость будущего денежного | ||||
потока;
FV - будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока;
r – ставка доходности, соответствующая оценке инвестором уровня риска.
Формула, обратная формуле (4.1), носит название формулы наращения:
| ( | + r | ) | . | (4.2) | |
| FV = PV 1 |
В формулах (4.1) и (4.2) ставка r представляет собой периодическую ставку, соответствующую одному периоду времени между текущим и будущим денежными потоками (в качестве такого периода может выступать год, квартал, месяц и др.) Если таких периодов до будущего платежа несколько, то формулы (4.1) и (4.2) примут соответственно вид
| ( | ) | n , | |||||
| PV = FV / | 1 | + r | (4.1') | ||||
| ( | ) | n . | (4.2') | ||||
| FV = PV 1 | + r | ||||||
| 27 | |||||||
Формула (4.2') выражает начисление процентов по сложной ставке. При этом процентный доход начисляется не только на основную сумму PV, но и на ранее начисленные проценты. В финансовом менеджменте использование сложного процента означает неявное предположение о реинвестировании получаемого дохода под действующую ставку доходности.
В некоторых случаях используется и ставка простого процента, начисляемая по формуле
|
|
|
| ( | + nr | ) | . | (4.3) | |
| FV = PV 1 |
При этом проценты начисляются только на основную сумму PV. Использование простых процентов правомерно в случаях, когда начисление производится за период, меньший, чем промежуток времени между соседними начислениями (выплатами) дохода.
В современной практике достаточно часто встречаются случаи, когда начисление процентов по некоторой номинальной годовой процентной ставке r
осуществляется чаще, чем один раз в год. В частности, таким образом обычно начисляются проценты по банковским вкладам. В этом случае проценты, начисленные по подпериодам в соответствии с периодичностью начисления, будут реинвестироваться под ставку, равную номинальной годовой деленной на количество периодов начисления в году. Наращенная стоимость в таком случае будет иметь вид
| ( | ) | mn , | ||
| FV = PV 1 | + r / m | (4.4) |
где m - количество начислений в году;
r - номинальная годовая процентная ставка;
n -количество лет.
Очевидно, что чем чаще происходит начисление процентов при одной и той же номинальной годовой ставке, тем выше будет начисленная сумма. При этом если устремить число начислений m к бесконечности, то есть продолжительность периода начисления – к нулю, то формула (4.2) примет вид:
|
|
|
28
| FV = PVern, | (4.4') |
где ℮ - основание натурального логарифма.
Начисление процентов по формуле (4.4') носит название непрерывного и используется в теории управления инвестиционным портфелем.
Управленческая практика достаточно часто требует сравнения эффективности различных схем начисления процентов. Удобным инструментом для проведения подобных сравнений служит так называемая эффективная годовая процентная ставка, которую обычно обозначают R. Эффективная годовая ставка представляет собой процентную ставку с периодом начисления один год, эффект начисления которой эквивалентен начислению номинальной или периодической процентной ставки m раз в год. Соответственно эффективная годовая ставка R может быть определена из формулы:
| ( | ) | m . | ||
| 1 +R= 1 | + r / m | (4.5) |
Заметим, что в правой части формулы (4.5) вместо отношения r/m может стоять процентная ставка за соответствующий внутригодовой период.
Аннуитеты. Наращенная и дисконтированная стоимость аннуитета постнумерандо и пренумерандо
|
|
|
Формулы (4.1) и (4.2) отражают зависимость текущего и будущего денежных потоков в случае, когда текущая стоимость уравновешивает единичный ожидаемый денежный поток. В более общем случае текущая стоимость может уравновешивать конечное или бесконечное число будущих выплат. В этом случае мы имеем дело с так называемыми аннуитетами. Под аннуитетами будем понимать системы равных по величине, либо изменяющихся по заранее известному закону платежей (выплат) через равные промежутки времени. Основными задачами, связанными с аннуитетами, являются вычисление их текущей (дисконтированной, приведенной) и будущей стоимости. При этом начисление процентов происходит по сложной ставке, то
29
есть предполагается реинвестирование каждого платежа под действующую периодическую ставку.
Самым простым и, одновременно, наиболее распространенным случаем является аннуитет с конечным числом равных по величине платежей в конце периодов (срочный аннуитет постнумерандо). Текущая стоимость такого аннуитета выразится формулой:
| PVAr= | A | + | A | + ... + | A | |||||||
| ( | ) | ( )
| ||||||||||
| n | 1 | + r | 2 | n | ||||||||
| 1 | + r | 1 +r | ||||||||||
где А – величина периодического платежа; r - процентная ставка за период; n – число периодов.
Несложные выкладки позволяют привести формулу (4.6) к виду
| PVAr= | A é | - | 1 | ù | ||
| ê1 | ú | |||||
| n | r ê | (1 +r)nú | ||||
| ë | û | |||||
(4.6)
(4.7)
Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо выразится следующим образом:
FVAnr= A (1+ r )n-1+ A (1+ r )n-2+...+ A (1+ r )1+ A;
или
| r | A | é | + r ) | n | ù | |||
| FVAn | = | r ë(1 | -1û. | (4.8) | ||||
Теоретически можно задать любой, сколь угодно сложный закон изменения величины платежей; однако невозможность на практике точно прогнозировать будущие финансовые потоки позволяет ограничиться достаточно простыми моделями. Обычно в реальных финансовых ситуациях бывает достаточно комбинации потоков постоянных платежей и платежей, меняющихся с постоянным темпом прироста. Последние описываются аннуитетами, у которых платежи ежепериодно возрастают (уменьшаются) на один и тот же процент g. Если, как и выше, первый платеж обозначить через А,
30
формулы для дисконтированной и будущей стоимостей таких аннуитетов с платежами в конце периодов, будут, соответственно, иметь вид:
| PVAr= | A | êé1 - | (1 +g)n | úù, | |
| (1 +r)n | |||||
| n | r - g ê | ú | |||
| ë | û | ||||
FVAnr=r-Agéë(1+ r )n-(1+ g )nùû.
(4.9)
(4.10)
Все приведенные аннуитетные формулы легко модифицировать для случая, когда платежи имеют место в начале периода (аннуитеты пренумерандо).
На практике встречаются случаи, когда платежи выплачиваются
теоретически неограниченно долго (например, дивиденды по привилегированным акциям). Очевидно, что речь для таких аннуитетов, называемых бессрочными, может идти лишь об их текущей стоимости. Соответствующие формулы получаются путем предельного перехода при п→∞ из соотношений (4.7) и (4.9) соответственно:
| PVP = | A | . | ||||
|
| (4.11) | |||||
| r | ||||||
| PVP = | A | |||||
| r | - g | (4.12) | ||||
Отметим, что в последнем случае необходимо выполнение условия r>g.
Базовая логика принятия инвестиционных решений:сравнение
фундаментальной(внутренней)стоимости(ценности)актива иего
Рыночной цены
Современная теория рынка капитала утверждает, что стоимость финансовых инструментов зависит от денежных поступлений или выплат, генерируемых данным финансовым инструментом в будущем. Концепция временной стоимости денег очень важна сточки зрения определения стоимости того или иного финансового инструмента. Финансовый актив имеет рыночную
31
цену (Рм), по которой можно приобрести этот финансовый актив на финансовом рынке и, во-вторых, теоретическую или внутреннюю стоимость, которая вычисляется с применением концепции временной стоимости денег (Vt).
Возможны три ситуации при сравнении инвестором рыночной цены и внутренней фундаментальной стоимости финансового актива. (Vt):
Рм> Vt ; Рм< Vt ; Рм = Vt ; (4.13) Первое соотношение говорит о том, что с позиции конкретного инвестора
данный финансовый актив продается в настоящий момент по завышенной цене, поэтому инвестору нет смысла его приобретать. Второе соотношение говорит об обратном: цена актива занижена, есть смысл его купить. Согласно третьему соотношению – текущая цена полностью отражает внутреннюю стоимость актива, поэтому спекулятивные операции с ним вряд ли целесообразны.
В каждый момент времени рыночная цена актива существует в единственном числе, а внутренняя стоимость множественна, каждый финансовый актив имеет столько оценок значений этого показателя, сколько имеется инвесторов на рынке, заинтересованных в этом активе. Каждый участник рынка полагает, что он владеет более качественной информацией и методами ее обработки, чем другие участники.
Можно сформулировать следующие правила, которые позволяют провести различие между ценой и внутренней стоимостью финансового актива:
1. Стоимость – это расчетный показатель, цена – декларированный, т.е.
объявленный который можно видеть в прейскурантах, в котировках.
2. В любой момент времени на рынке цена однозначна, а внутренняя стоимость – многозначна.
3. С известной долей условности можно утверждать, что стоимость первична, а цена вторична, поскольку в условиях равновесия рынка цена количественно выражает внутренне присущую активу стоимость. Цена стихийно устанавливается как среднее из оценок стоимости, рассчитываемых инвестором.
32
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 386; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!