Модель Брэдли - Терри (модель максимального правдоподобия)

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 17Следующая ⇒

Простейшая модель максимального правдоподобия, называемая моделью Брэдли - Терри, предполагает, что каждому варианту x_i сопоставляется его сила j _i. Причем считается, что вероятность превосходстваx_i > x_j прямо пропорциональна этой силе.

Р(x_i> x_j) = j _i /(j _i +j _j) = 1 – Р(x_j > x_i).

После проведениясравнений пар (x_i, x_j) получают систему уравнений:

где , при турнирной калибровке и при простой структуре. Данная система решается итерационно. После получения значений j _i варианты упорядочиваются по их значениям.

Рассмотренная модель используется для простых структур и турнирных калибровок.

Модель Бержа

В модели Бержа каждому альтернативному варианту ставится в соответствие цепочка так называемых интегрированных сил Р_i⁽¹⁾, Р_i⁽²⁾,..., в которой сила k-го порядка Р_i⁽^k⁾ определяется как сумма элементов i-й строки в матрице А^k:

где k – степень, в которую возводится матрица А, – элемент матрицы А^k размерностью n´n.

Показатель позволяет выполнить упорядочивание альтернатив x_i. При этом скорость сходимости j _i с ростом k велика. Поэтому для упорядочивания альтернатив достаточно пользоваться оценками j _i при малых значениях k =2¸4. Данная модель может быть использована для простой структуры, турнирной и степенной калибровок.

Рассмотрим пример решения задачи линейного упорядочивания с использованием модели Бержа для оценки значимости элементов технической структуры с целью обеспечения ее надежности.

Пусть, например, на начальном этапе проектирования необходимо определить значимость элементов структуры, представленной на рисунке 4.

Рис. 4. Пример технической структуры

Стрелкой показано направление информационной связи между элементами структуры. Если элемент структуры x_i связан с элементом структуры x_j, то с точки зрения надежности функционирования x_i > x_j. Выходиз строя элемента x_i приводит к невозможности работы элемента x_j.

Использование простой структуры приводит к матрице А, А⁽²⁾, А⁽³⁾вида (при этом ):

Вычислим . Получим =7, =2, = =1, =0. = 7 + 2 + 1 + 1 + 0 = 11. Тогда j₁=7/11, j₂=2/11, j₃=1/11, j₄=1/11, j₅=0. В данном примере j_i имеет смысл значимости (веса) надежности i–го элемента технической структуры для обеспечения ее надежности в целом.

Эти значения позволяют произвести линейное упорядочивание важности элементов технической структуры для обеспечения ее надежности в целом.

Модель Ушакова

Стохастическая модель Ушакова используется для обработки матриц А, заданных в степенной и вероятностной калибровках. Матрица А преобразуется в вероятностную матрицу Р, произвольный элемент которой p_ij интерпретируется как вероятность превосходства x_j надx_i. В том случае, если задана вероятностная калибровка, то матрица Р получается из матрицы А путем транспонирования Р = А^Т, т.к. значение a_ij в вероятностной калибровке указывает на вероятность того, что i-й вариант превосходит j-й.

Так как , то матрица Р преобразуется в матрицу , элемент которой .

Для выполнения условия элементы главной диагонали матрицы : .

В этом случае матрица принимает смысл матрицы вероятностей перехода эргодической цепи Маркова, в которой один вариант соответствует одному состоянию. Напомним, что эргодическими называются такие цепи Маркова, у которых вероятности перехода системы в различные состояния (финальные вероятности каждого состояния) перестают меняться от шага к шагу, а, следовательно, существуют предельные вероятности переходов в каждое состояние, которые не зависят от исходного состояния. Финальные вероятности каждого состояния определяют значения интегральных показателей j_i. Показатель j_j= . Причем, . В дальнейшем упорядочивание альтернативных вариантов производится в порядке убывания значений j_i.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 840; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!