Методы получения оценок. Метод максимального правдоподобия.
Пусть 
- выборка из генеральной совокупности с функцией распределения 
, зависящей от 
неизвестных параметров. Необходимо найти оценки 
параметров 
. 
при больших 
. Более того, можно рассматривать 
как оценку или 
при каждом фиксированном значении 
. Поскольку - результаты n испытаний для случайной величины 
, то в качестве успеха в случайном испытании примем: 
.
Тогда 
, где 
- число выборочных значений, меньших 
, т.е. число успехов. 
, где 
,
. Таким образом, 
. Следовательно,
1. 
При любом фиксированном является несмещенной оценкой .
2. Проверим состоятельность оценки 
т.к. 
, если 
- конечно. По теореме о двух милиционерах 
.
Т.о. 
, т.е. - состоятельная оценка .
3. Оказывается, что эта оценка является также и эффективной.
Метод максимального правдоподобия.
Пусть выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность 
, зависящую от . Составим совместную плотность распределения случайных величин .
(по критерию независимости непрерывных случайных величин)= 
. 
- функция правдоподобия.
Фишер предложил находить оценки из того условия, что функция правдоподобия 
.
Те значения , при которых функция 
принимает наибольшее значение, и являются оценками.
Введем функцию 
- логарифмическую функцию правдоподобия. Надо решать задачу 
.
Для этого составляется система
Выбирается то решение, которое обращает функцию правдоподобия (следовательно и 
) в максимум. При этом методе получаются состоятельные ,но смещенные оценки.
|
|
|
О.Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки 
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты 
, а на оси ординат – соответствующие им частоты 
. Точки 
соединяют отрезками и получают полигон частот.
О. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки 
Предположим, что - выборка из непрерывной генеральной совокупности с плотностью вероятности 
. Необходимо построить оценку плотности .
Интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбиваем на k частичных интервалов длины
, где 
- наибольшая, а 
- наименьшая из вариант,
, где 
- число выборочных значений, попадающих в i – й интервал 
, n – объем выборки.
Полученная ступенчатая фигура называется гистограммой относительных частот.
О.Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны отношению 
(вместо 
)
Площадь 
, т.е. равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
2. Поскольку - независимы, 
. По закону больших чисел в форме Чебышева 
По определению 3 
- состоятельная оценка параметра 
.
|
|
|
3. Эффективность оценки зависит от закона распределения генеральной совокупности.
Оценка 
.
1. 
.Следовательно, 
(1)
.
Следовательно, 
(2)
Следовательно, не является несмещенной оценкой. При 
оценка будет почти несмещенной.
2. Можно проверить, что - состоятельная. Введем 
, тогда
- несмещенная оценка и называется исправленной выборочной дисперсией.
- неисправленная выборочная дисперсия.
- исправленная выборочная дисперсия.
если - конечно. По теореме о двух милиционерах .
Т.о. , т.е. - состоятельная оценка .
3. Оказывается, что эта оценка является также и эффективной.
Метод моментов.
Состоит в том, что выборочные (эмпирические) моменты принимаются за оценки соответствующих теоретических (генеральных) моментов и неизвестные параметры выражаются через эти моменты.
Начальные моменты:
1. Теоретические (генеральные)
где 
- вероятность 
- плотность случайной величины X.
2. выборочные (эмпирические) 
.
Центральные моменты:
1. Теоретические (генеральные)
2. выборочные (эмпирические) 
.
Необходимо отметить, что теоретическая моменты – случайные величины, а эмпирические – фиксированные постоянные.
|
|
|
Таким образом, для получения оценок неизвестных параметров необходимо решить одну из систем уравнений:
Здесь оценки параметров заменены на сами параметры.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 229; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!