Гипотезы сравнения о равенстве МХ при неизвестной дисперсии
Предположим, что x1,x2,…,xn1 и y1,y2,…,yn2 – две независимые выборки из нормальной генеральной совокупности с параметрами соответственно.
2. -неизвестно H0: a1=a2.
По лемме Фишера:
-независимы и имеют стандартное нормальное распределение. ;
. -отношение Стьюдента. В качестве статистики возьмем:
- отношение Стьюдента.
Критерий Колмогорова.
Имеется выборка x1,…,xn и H0: F(x)=F0(x). В качестве меры отклонения теоретической функции распределения F(x) берется .
Теорема (Колмогорова).
Если F(x) непрерывна, то . Имеются таблицы процентных точек распределения Колмогорова.
- процентная точка распределения Колмогорова, соответствующая уровню значимости или .
Алгоритм:
1. Считаем .
2. Если , то H0 отвергается.
Если , то H0 согласуется с экспериментальными данными.
Поэтому вероятность того, что
, . , где - уровень значимости. - искомый ДИ.
2. Пусть - не известно. Построить ДИ для . . По Лемме Фишера . ; ,
, . , .
- искомый ДИ.
таким образом, что если , то нулевая гипотеза H0 отвергается, т.е. принимается гипотеза H1, а если не попадает в область K, т.е. , то H0 – принимается. Обычно K выбирается следующим образом: D=D(x1,x2,…,xn) - некоторая функция от выборочных ранных значений, т.е. случайная величина. Обычно критическая область K выбирается одним из следующих 3-х способов: 1) односторонние критические области. 2) . 3) двусторонняя критическая область
|
|
О. Случайная величина D=D(x1,x2,…,xn) называется статистикой критерия.
Ошибки:
1) Ошибка 1-го рода возникает, если H0 – отвергается при условии, что H0 – верна. -вероятность ошибки 1-го рода.
О. Вероятность ошибки 1-го рода называется уровнем значимости критерия.
2) Ошибка 2-го рода возникает тогда, когда H0 принимается, хотя она неверна (т.е. верна H1). -вероятность ошибки 2-го рода. Одновременно и невозможно. Если увеличивать, то будет уменьшаться и наоборот.
;
.
Если гипотеза H0 отвергается. Если гипотеза H0 согласуется с экспериментальными данными. ;
.
D0-% точка распределения Стьюдента, .
Теорема1.1) Пусть случайные величины - независимы и имеют нормальное распределение. Тогда СВ также имеет нормальное распределение.
2) Если случайная величина X имеет нормальное распределение, то при любых действительных А и В ( ), случайная величина Y=AX+B также имеет нормальное распределение. Предположим, что - выборка из генеральной совокупности с параметрами распределения . По теореме имеет нормальное распределение.
Пусть , В=0. - также имеет нормальное распределение.
, т.к. - несмещенная оценка, . ~ .
Следствие:Если - выборка из нормальной ГС с параметрами , то СВ ~ .
|
|
Предположим, что имеется выборка из нормальной генеральной совокупности с параметрами . Оценками величины -
Лемма: Если - выборка из нормальной генеральной совокупности с параметрами , то случайная величина
. Лемма Фишера: Если - выборка из нормальной генеральной совокупности с параметрами , то случайные величины и - независимы, причем .
Следовательно, получаем искомый ДИ: ,
где - точность оценки.
2. Пусть - неизвестно. Надо построить ДИ для .
~N(0,1). С другой стороны, по лемме Фишера: . Отсюда . - отношение Стьюдента с n-1 степенью свободы. . Здесь , где - уровень значимости для процентных точек. - искомый ДИ.
По лемме Фишера величина , => имеет распределение с степенями свободы, т.к. n-r= . Можно показать, что если выполняется гипотеза Н0, т.е. , то и независимы и , => при выполнении гипотезы Н0 величина (4) имеет распределение Фишера с r-1, n-r степенями свободы. Величина (4) может использоваться для проверки гипотезы о равенстве мат. ожиданий . Если эта гипотеза верна, то и явл. состоятельными оценками одной и той же СВ а и, =>, близки между собой, а величина мала. Если различны, то и сближаются с разными мат. ожиданиями: , и, =>, сумма должна принимать большие значения. Независимо от предложения о рав-ве , знаменатель в (4) остается оценкой σ². Это значит, что при увеличении расхождения между величина (4) в среднем должна принимать большие значения. Статистический критерий формулируется следующим образом: если , то гипотеза отвергается. Здесь нах-ся по таблице распределения Фишера с уровнем значимости α и числами степеней свободы r-1, n-r.
|
|
Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты.
Для вычисления основных хар-к выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения кот. аналогичны определениям соотв. теоретических моментов. В отличие от теоретических, эмпирические моменты вычисляют по данным наблюдений. Опр.: Обычным эмпирическим моментом порядка к наз. среднее значение к-х степеней разностей : где - наблюдаемые варианты, -частоты вариант, n= -объем выборки, С - произвольное постоянное число( ложный нуль). Опр.: Начальным эмпирическим моментом порядка к наз. обычный момент порядка к при С=0: В частности т.е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней. Опр.: Центральным эмпирическим моментом порядка к наз. обычный момент порядка к при : ; - выборочная дисперсия.
|
|
соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0 ; в клетках над 0 пишут последовательно -1, -2, -3 и т. д., а под 0 – 1,2, 3 … 4) умножают частоты на условные варианты и записывают их произведение
в 4-ый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца; 5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведение в 5-ый столбец; сложив все полученные числа, их суму помещают в нижнюю клетку столбца; 6) умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, и записывают произведения в 6-ой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца. Замечание1. Целесообразно отдельно складывать отрицат. числа 4-го столбца (их суму записывают в клетку строки, содержащей ложный нуль) и отдельно положит. числа ( их сумму записывают в предпоследнюю клетку столбца); тогда Замечание2. При вычислении произведений 5-го столбца целесообразно числа 4-го столбца умножить на 3-го столбца. Замечание3.6-ой столбец служит для контроля вычислений: если сумма = , то вычисления проведены правильно. После заполнения таблицы и проверки правильности вычислений, вычисляются условные моменты: И вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам: .
выборочный коэффициент корреляции. Можно значительно упростить расчет, если перейти к условным вариантам (при этом не изменяется)
; . В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле: Величины можно найти методом произведений. Остается вычислить , где - частота пары условных вариант (u, ). Справедливы формулы
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 218; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!