Стат. гипотеза. Нулевая, конкурирующая, сложная, простая. Ошибки 1и 2 рода.

Статистическойназ-т гипотезу о виде неизвестного распред-я, или о параметрах известных распределений .

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной)называют выдвинутую гипотезу Н₀

Конкурирующей (альтернативной) наз-т гипотезу Н₁ кот. противоречит нулевой.

Разл-т гипотезы, кот-ые содержат только одно и более одного предположений.

Простойназывают гипотезу, содержащую только одно предположение.Сложнойназывают гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Выдвинутая гипотеза м.б. правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого родасостоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.Ошибка второго родасостоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.Последствия этих ошибок могут оказаться весьма различными.

Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Область принятия гипотезы

Статистическим критерием(или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением К_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая — при которых она принимается.

Критической областьюназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.Областью принятия гипотезы(областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Путь найденная по данным выборки статистич хар-ка Ō_n служит оценкой неизвестного параметра Ө ясно что Ō_n тем точнее определяет Ө чем меньше разность ׀Ө - Ō_n׀ другими словами если δ > 0 и ׀Ө - Ō_n׀ < δ то чем меньше δ тем точнее оценка. Однако статистич методы не позволяют категорически утверждать что оценка

Ō_n удовлетворяет ׀Ө - Ō_n׀ < δ можно лишь говорить о вер-ти j с которой это нер-во выполняется

Опр: надежностью (доверит вер-тью) оценки Ō_n параметра Ө называется вер-ть j с кот осуществляется ׀Ө - Ō_n׀ < δ

Обычно надежность задается на перед и в кач-ве j берут число близкое к 1

Опр: доверительным называют интервал (Ōn-δ, Ōn+δ) кот покрывает неизвестный параметр Ө с заданной надежностью вер-ти j

27.Довер-ные интервалы для оценки мат. ожидания нормальн. распред-я при известном δ

Доверительные интервалы покрывают параметр а с надежностью j кот имеет вид :

=γ

n–объем выборки,x_b–выборочное среднее,

δ – известный параметр,t – значение оргументов ф-ии Лапласа удовлетворяющие условия Ф(t)=γ/2

замечание: при увеличении объема выборки n точность оценки увеличивается.

28.Доверительные интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распред-я

Найдем доверит интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распределения. Укажем оценку неизвесного генерального ср квадрат отклонения δ по исправленному выборочному среднему S с надежностью j

S(1-q)<δ<S(1+q), q<1

0<δ<S(1+q), q>1,

Где q=q(n,j) и ищется по табл 4 а исправленная ср квадратич отклонение S ищется по выборке.

31. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ДИСПЕРСИЙ НОРМ. И ГЕН.СОВ-СТЕЙ. На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерении и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеивание результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Пусть ген.сов-сти Х и У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соотв-но равными n₁ и n₂, извлеченным из этих сов-стей, найдены исправленные выб.дисперсии S_x² и S_y²_.Требуется по исправленным дисп-ям и при заданном уровне значимости α(альфа) проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ген.дисп-сии рассматриваемых сов-стей равны между собой( Н₀: D(X)=D(Y) ). В качестве критерия проверки Н₀примем отношение большей исправленной дисп-сии к меньшей.( F=Sб² / Sм² ).ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу ( Н₀: D(X)=D(Y) ) при конкурирующей гипотезе Н₁=D(X)>D(Y) надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей (F_набл=Sб² / Sм²). И по таблице критич.точек распределения по заданному уровню значимости α(альфа) и числам степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 найти критич.точку (F_набл=( α, k_1,k₂). Если F_набл>F_крит – нулевую гипотезу отвергают, если F_набл<F_крит– нет оснований отвергать нулевую гипотезу. ПРИМЕР: По двум независ.выборкам объемов n₁=12 и n₂=15, извлеченных из нормальных ген.сов-стей Х и У, найдены исправленные выб.дисп-сии S_x²=11,41 и S_y²=6,52. При α=0,05 проверить Н₀: D(X)=D(Y) при Н₁:D(X)>D(Y). РЕШЕНИЕ: F_набл=11,41 / 6,52 =1,75 D(X)>D(Y) – Крит.область правосторонняя. По таблице 7 α=0,05, k₁=12-1=11 и k₂=15-1=14. Находим F(0.05 , 11, 14)=2,56. Т.к 1,75<2,56 – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.ПРАВИЛО 2: Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нул.гипотезу о равенстве ген.дисп-сий нормально распределенных сов-стей при конкур-щей гипотезе Н₁= D(X) ≠D(Y) надо вычислить отношение большей исправлен.дисп-сии к меньшей(F_набл=Sб² / Sм²). И по таблице крит.точек распред-ния при α/2 и числам степеней свободы k₁и k₂ найти Крит.точку (F_крит=( α/2, k_1,k₂). Если F_набл<F_крит -- нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если F_набл>F_крит -- нулевую гипотезу отвергают. ПРМЕР: По двум независ.выборкам с n₁=10 и n₂=18 найдены S_x²=1,23 и S_y²=0,41 при α=0,1 проверить Н₀: D(X)=D(Y) при Н₁= D(X) ≠D(Y). РЕШЕНИЕ: F_набл=1,23 / 0,41=3. По таблице: α/2=0,1/2=0,05. F_крит=2,5. Т.к 3>2,5 , нулевую гипотезу отвергают.

32. СРАВНЕНИЕ ДВУХ СРЕДНИХ ГЕН.СОВ-СТЕЙ, ДИСПЕРСИИ КОТОРЫХ ИЗВЕСТНЫ. Пусть ген.сов-сти Х и У распределены нормально. По независ.выборкам, объемы которых m и n, извлечен-ным из этих сов-сткй, найдены выборочные средние Х и У. Требуется по выбор.средним при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ген.средние рассматр-ых сов-стей равны между собой(Н₀:М(Х)=М(У). В качестве критерия проверки нул.гипотезы примем случ.величину:

Z=(Х-У)/о(Х-У)=(Х-У)/ D(X)/n+D(X)/m

ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нул.гипотезу Н₀:М(Х)=М(У) о равенстве мат.ожиданий двух нормальных ген.сов-стей с известными дисперсиями при конкур-ей гипотезе: Н₁:М(Х)≠М(У) надо вычислять наблюдаемое значение критерия: Z_набл =(Х-У)/ D(X)/n+D(Y)/m . По таблице ф-ции Лапласа найти Крит.точку по равенству: Ф_{2 крит}=(1- α)/2 . Если | Z_набл |< Z_крит – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | Z_набл |> Z_крит – нулевую гипотезу отвергают. ПРИМЕР: По двум независ. выборкам n=60 и m=50 найдены D(X)=120 и D(Y)=100, найдены выбор.средние Х=1250 и У=1275, α=0,01. Проверить Н₀:М(Х)=М(У) при Н₁:М(Х)≠М(У). РЕШЕНИЕ: Z_набл =(1250-1275)/ 120/60+100/50= -12,5. Ф(Z_крит)=(1-0,01)/2=0,495. Z_крит=2,58. | 12,5 |>2,58 – нулев.гипотезу отвергаем.

33.Двумерная СВ.Матрица распред-я.Ф-ция распред-я двумерной СВ,ее св-ва.Пусть (Х,У)-сис-ма 2-х дискретн.СВ,причем СВ Х принимает n значений,кот-е образуют множ-во G={ х₁,х_2,…х_n },СВ У принимает m значений,кот.образуют множ-во Н={ у₁,у_2,…у_n }.Обозначим ч/з р_ij вероятн-ть того,что Х принимает значения х_i и одновременно У=у_j_,т.е р_ij₌Р(Х= х_i_,У= у_j). Аналогом ряда распред-я одной СВ Х д/2-х дискретн.СВ,образующих сис-му (Х,У) явл-ся матрица распред-я,т.е прямоугольн.таблица размером n*m,записанная в виде

Отметим,что ∑ всех вероят-тей таблицы=1. ∑_i∑_jp_ij=1.Сис-му 2-х СВ (Х,У)наз-т двумерной СВ.Ф-цией распред-я 2-х СВ(Х,У)наз-ся ф-ция F(х,у)=Р(Х<х,У<у).Теорема1.Если известна матрица распред-я 1 дискретн.СВ(Х,У),то ее ф-ция распред-ния находится путем суммирования всех p_ij д/кот. х_i<х,у_j<у,т.е F(х,у)= ∑ _х_i_<х∑ _у_j_<у p_ij.Зная матрицу распред-я 1 двумерн.СВ можно найти ряды распред-я одномерных СВ Х и У.Теорема2:Для того,чтобы найти вероят-ть того,что отдельн.СВ,входящая в сис-му приняла опред.значения надо просуммировать все вероят-ти p_ij в соответств-щей этому значению строке(столбце) матрицы распред-я 1. Двумерн.СВ(Х,У)наз-ся непрерывной СВ явл-ся ее компаненты Х и У.Теорема3.Если ф-ция распред-я F(х,у) двумерн.СВ(Х,У) явл-ся непрер.ф-цией,диффер-мой по каждому из аргументов х,у и имеющей смешан.производную (υ² F(х,у))/ υхυу,то двумерная СВ(Х,У)непрерывна.Осн.св-ва двумерн.СВ:1.0≤ F(х,у)≤1;2.Ф-ция распред-я явл-ся неубывающей ф-цией по каждому из своих эл-тов,т.е х₁<х₂отсюда следует F(х₁,у)≤F(х₂,у); у₁≤у₂ отсюда следует F(х,у₁)≤F(х,у₂)

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 610; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!