Что называют условной вероятностью события. Приведите примеры.
На практике часто встречаются ситуации, когда наступление некоторого события значительно меняет возможности наступления других событий и их вероятности. Если произошло событие B, то новая вероятность события А называется условной вероятностью и обозначается PB(A), говорят: «вероятность события А при условии B». При этом B оказывается достоверным событием и играет роль пространства элементарных событий Ω.
Условная вероятность PB(A) определяется формулой (при P(B) >0):
PB(A)= 
(1)
Из (1) следует формула:
P(A*B)= PB(A) P(B), P(B)>0, (2)
И симметричная формула:
P(A*B)= PA(B)P(A), P(A)>0 (3)
В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность
РA (В) = 3 / 5.
Этот же результат можно получить по формуле
РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0). (*)
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
Р (А) = 3 / 6 = 1 / 2.
Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений A26 = 6 * 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 * 3 = 9 исходов. Следовательно,
|
|
|
Р (AВ) = 9 / 30 = 3 / 10.
Искомая условная вероятность
РA (В) = Р (АВ) / Р (А) = (3 / 10) / (1 / 2) = 3 / 5.
Как видим, получен прежний результат.
Теорема умножени вероятностей для зависимых событий
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:Р (АВ) = Р (А) РA (В) (*)
Доказательство
По определению условной вероятности,
РA (B) = Р (АВ) / Р (A).
Отсюда
Р (АВ) = Р (А) РA (В).
З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р (ВА) = Р (В) Рв (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, -> Р(АВ) = Р (В) Рв (А)
Сравнивая формулы Р (АВ) = Р (А) РA (В) и Р(АВ) = Р (В) Рв (А), заключаем о справедливости равенства
Р (А) Ра (В) = Р (В) Рв (А)
Теорема (правило) умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:
P(ABC...KL) = Р(А)· РА(В)· РАВ(С) ... РАВС...К(L),
Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.
|
|
|
Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р(А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность РA(В) = 7 / 9.
По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = Р(А)•РA(В) = (3/10)• (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, РB(А) = 3/9, Р(В)•РB(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства.
С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
где 
явл вероятностью события An, вычисленной в предположении, что события А1,А2,..., Аn — 1 наступили. В частности, для трех событий Р (AВС) = Р (А) РA (В) РAB (С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считатьпервым, вторым и т. д.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 436; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!