Щільність розподілу системи двох випадкових величин.

Для двовимірної випадкової величини дискретного та неперервного типу функції розподілу відповідно такі:

, ,

де — щільність розподілу ймовірностей випадкової величини .

Властивості щільності розподілу :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Умовні закони розподілу системи двох випадкових величин. Числові характеристики. (Умовне математичне сподівання).

Кореляційний момент (коваріація, коефіцієнт кореляції). Властивості cov xy, rxy.

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин Х и Y, еще и связь между ними. Для того, чтобы убедиться в этом отметим, что корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю.

Заметим, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связи между величинами (Х;Y) в чистом виде переходят от момента K_xy к характеристике

,

где σ_x, σ_y - средние квадратичные отклонения величин Х и Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин Х и Y.
Из формулы видно, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, так как для таких величин k_xy=0.

Случайные величины, для которых r_xy=0, называют некоррелированными (несвязанными).
Отметим однако, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.
Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Т.о., коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.
Для определения коэффициента корреляции имеется несколько методов. Однако мы приведем пример с использованием коэффициента корреляции смешанных моментов Пирсона, где

 

Нерівність Чебишева.(доведення).

Нехай - функція розподілу змінної . Тоді:

Звідси одержуємо,

З того, що одержуємо твердження

 

Теорема Чебишева.(доведення).

Нехай  послідовність незалежних випадкових величин ,які задовольняють умовам:

1.M(X_і)>= a_і

2.D(X_і )<= с Для всіх і=1,2,3…..n

Якщо випадкові величини у послідовності  незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середне арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань ,взятого за абсолютним значенням .

Ця теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема

 

---

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 188; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!