Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
Опр. Если для каждого значения а ∊ А решить уравнение F(x;a)=0 относительно x,то это уравнение наз. уравнение с переменной х и параметром а.(множество А-область значения параметра. Если про множество А ничего не сказано ⇨ а ∊ R ,и можно найти все значения
a,при переходе через которой произошло качественное изменение - наз. контрол. ⇨ решить уравнение с параметром –это значит найти такие контрольные а ,при переходе через которые существенно меняются корни уравнения.) Каждое уравнение вида F(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с параметром. Решить уравнение с параметром означает, для каждого допустимого значения параметра найти множество решений уравнения ,или доказать что решений нет.
Линейное уравнение в зависимости от значения параметра а могут иметь: 1) единственное решение 2) бесконечно много решений 3) не иметь решений.
Для того, чтобы решить уравнение с параметром необходимо:
1)определить тип уравнения.
2)привести уравнение к стандартному виду.
3)исследовать решение уравнения, согласно с теорией решения уравнения определенного вида.
Основными методами решения с параметрами является: аналитический , графический (функциональный) и комбинированный.
Cтандартный вид: ax+b=0 (1)
1)когда а≠0,то единственный корень х= 
2)когда 
3)когда 
⇨ решений нет
Пр1. 1+x=ax (аналитический метод)
x-ax=-1
x(1-a)=-1
н.з : a=1 0·x=-1 ·Ø
a 
x 
|
|
|
Ответ : 
при a=1, x
Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
Квадратные уравнения с параметром.
Функция вида 
( 
- квадратный трехчлен), где 
, в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.
Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.
При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:
1) вербальная модель – словесное описание задачи;
2) геометрическая модель – график квадратичной функции;
3) аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если 
, то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График (парабола) находится ниже находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство 
выполняется при любом х; неравенство 
не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.
|
|
|
Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:
1) уравнение записывают в виде 
;
2) выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
3) для каждого случая строят параболу ( геометрическую модель);
4) геометрическую модель описывают системой неравенств(аналитическая модель);
5) решают систему неравенств.
С помощью нахождения дискриминанта можно определить количество решений.
1) если D<0, то уравнение не имеет корней;
2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;
3) если D>0, то уравнение имеет два решения.
Также рассмотрим возможные случаи при решении квадратных уравнений с параметром:
|
|
|
Пусть 
- абсцисса вершины; 
, 
- корни трехчлена; A,B – некоторые точки на оси 
1) 
, 
, тогда и только тогда, когда 
или 
1) корни лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда 
или 
2) оба коня больше А: 
или 
3) 
оба корня лежат между числами А и В тогда и только тогда, когда 
или 
4) корни лежат по разные стороны от отрезка [AB] тогда и только тогда, когда
или 
В некоторых случаях при решении используется теорема Виета: 1. Квадратный трехчлен 
2. Корни квадратного трехчлена 
и 
, причем 
3. Дискриминант квадратного трехчлена 
В случае четности второго коэффициента 
4. Теорема 
6) Уравнение имеет два отрицательных корня при условии: 
7) Уравнение имеет два положительных корня при условии: 
19. Методы решения уравнения 
. Методы решения неравенства 
Уравнения и неравенства с параметрами – одна из самых тяжелых тем школьного курса математики. Параметры занимают особое место в системе упражнений, развивающего характера. Сложность решения уравнений и неравенств с параметрами связано с рассмотрением различных частных значений параметра, при которых задача имеет решение (не имеет решения), задана расп. на подзадачи. Каждое уравнение вида f(x;a)=0 можно рассмотреть как уравнение с параметром. Решить такое уравнение – это значит найти такие пары (x;a), которые удовлетворяют данному уравнению. Таким образом уравнение f(x;a)=0 можно рассмотреть как уравнение с 2-мя параметрами (х) и (а). если а – фиксированное значение, то уравнение f(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с одной переменной (х).
|
|
|
Если для каждого значения а из некоторого множества А решить уравнение f(x;a)=0 относительно х, то это уравнение называется уравнением с переменной х и параметром а. множество А – область значения параметра.
Если про множество А ничего не сказано, то а принадлежит R и нужно найти те значения а, при переходе через которые происходят качественные изменения уравнений. Эти значения называются контрольные. Решить уравнение с параметром – значит найти такие контрольные значения, при переходе через которые существенно меняются корни уравнения.
· Аналитический метод решения
· Функциональный и графический (для уравнений и неравенств)
· Полное или комбинированное использование свойств функций и их свойств(для неравенств)
Каждое уравнение можно рассматривать как уравнение вида F(x;a)=0 . решение состоит из 2-х частей:
1. F (x;a)=0 относительно х или относительно а.
2. Исследование функции х=Р(а) или а=М(х)
Работа над уравнением с параметрами состоит из следующих наиболее типовых задач
1)Е (нахождение области значений функции)
2)определение тех промежутков из области определения функции, которым не могут принадлежать корни этого уравнения и тех значений параметра а, при которых эти корни не существуют.
3) построение графиков уравнений F(x;a)=0 и чтение данных графиков.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1342; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!