Типы показательно-степенных уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x, f(x) > 0.
I тип: уравнение вида (5). Решение уравнения (5) на ОДЗ сводится к решению совокупности
II тип: уравнение вида (6)
Решение уравнения (6) на ОДЗ сводится к решению совокупности
Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании а, а > 0, a ¹ 1.
Типы неравенств и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.
I тип: неравенство вида (7) где b Î R.
Если то решением неравенства (7) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x).
Если логарифмированием по основанию a неравенство (7) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a:
1) если то в результате логарифмирования получают неравенство
2) если то после логарифмирования приходят к неравенству
Далее решают в зависимости от вида выражения f(x).
Если исходное неравенство имело знак < или ³, или £, то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае и не изменяется в случае
II тип: неравенство вида (8)
Для решения неравенства (6.13) (или аналогичных ему со знаками ³, <, £) используют монотонность логарифма:
1) если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно неравенству которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x);
|
|
2) если то неравенство (8) равносильно неравенству
III тип: неравенство вида (9) где F – некоторое выражение относительно
Вводят замену переменной и решают относительно переменной y неравенство
Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют) записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.
Если переменная содержится и в основании степени, и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степенным. Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т. е. решают совокупность систем неравенств.
Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.
В частности, аналогом показательного неравенства (8) является следующее показательно-степенное неравенство (10)
Его решение сводится к решению совокупности:
Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.
|
|
При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1015; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!