Теорема сложения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство:

Предположим, что из n случаев m благоприятны событию А,a k — событию В. Тогда

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев,которые благоприятны я А, и В вместе. Следовательно, событию A+B благоприятны m+k случаев и

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой

Р(A + В) = Р(A) + Р(В) - Р(АВ),

где АВ — произведение событий А и В.

Теорема сложения вероятностей для нескольких событий

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В случае, когда события A_i совместны, вероятность их суммы выражается формулой

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов г, j, к,..., взятых по одному, по два, по три и т. д.

Если события A₁,А₂,..., А_n несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Полиномиальное распределение вероятностей (второе обобщение схемы независимых испытаний).

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие

А₁ появится m₁раз с вероятностью p₁

А₂ появится m₂ раз с вероятностью p₂

_{......................}

А_k появится m_k раз с вероятностью p_k

И . Требуется найти вероятность Р_n,_m₁_m_2,...,_mk того, что в результате n опытов событие А_i появится ровно m_i раз.

Такая вероятность равна коэффициенту при в выражении производящей функции:

Задача 30.3 (в )

Вероятность выхода из строя от 14 до 26 конденсаторов:

Экзаменационный Билет №4

Теорема умножения вероятностей.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (А/В).

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий .

Вероятность произведениядвух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р(АВ) = Р(А) Р(В\А)или Р(АВ) = Р(В) Р(А\В).

Для независимых событий А и В: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Теорема умножения вероятностей для нескольких событий

Р(А₁А₂...А_n) = Р(А₁)Р(А₂\А₁)Р(А₃\А₁А₂)...Р(А_n\А₁А ...А_n-1).

В случае, когда события независимы, т.е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных.

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 212; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!