Центральная предельная теорема. Различные формы центральной предельной теоремы

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

Если  независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

И тогда вероятность того, что случайная величина Y попадет в промежуток , выражается формулой

,

где  - функция Лапласа;

; .

СледствиеПусть  — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y при  имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y при  имеет место сходимость

 Для любых вещественных x < y при   имеет место сходимость

Если  — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Замечание. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

 

Более общей является следующая теорема Ляпунова.

Пусть  - независимые случайные величины с математическими ожиданиями  и дисперсиями , причем в сумме  нет слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также нет большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы исчезающе мало по сравнению с суммарным влиянием остальных, то при  закон распределения случайной величины Y неограниченно приближается к нормальному.

Задача 30.3 (а).

 

Вероятность выхода из строя не менее 20 конденсаторов:

 

Экзаменационный билет №2

Классическая, частотная, геометрическая схема вычисления вероятности.

А- Классическая вероятность

Вероятность события А вычисляется по формуле ;

где n - общее число случаев;

m - число случаев, благоприятных событию А.

B- Частота

Частотусобытия часто называют его статистической вероятностью. Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле и отчевидно, что

где m— число появлений события А;

n — общее число произведенных опытов. 

с- Геометрическая вероятность:

Использована тогда, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой части области (длине, площади, объёму, ...) и не зависит от её расположения и формы.

Неравенство Чебышева. Две формы неравенства Чебышева.

A. Первая формула.

Если х – случайная неотрицательная велична, то

Доказательство:

1.Пусть величина X прерывная, с рядом распределения

xi	x1	x2	...	xn
p1	p1	p2	...	pn

2. Для непрерывных величин

B. Вторая формула.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на   , ограничена сверху величиной : .

Доказательство:

1.Пусть величина X прерывная, с рядом распределения  

 

xi	x1	x2	...	xn
p1	p1	p2	...	pn

2. Для непрерывных величин

 

Примечание.

Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина X выйдет за пределы участка значительно меньше ¹/₉

Задача 30.3. (б)

 

Вероятность выхода из строя менее 28 конденсаторов:

Экзаменационный Билет №3

---

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 254; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!