Основные закономерности процесса диффузии. Законы Фика
 |
Закономерности диффузионных процессов в газах и жидких растворах были исследованы в конце XIX века швейцарским ученым Фиком. В дальнейшем была показана применимость сформулированных Фиком законов применительно к твердым телам. Основные закономерности процесса диффузии описываются двумя законами Фика. Согласно первому закону Фика плотность потока диффундирующих атомов пропорциональна градиенту их концентрации
где D – коэффициент диффузии, зависящий от температуры:
Микроскопическая модель процесса диффузии, рассмотренная выше, по существу лишь подтверждает справедливость первого закона Фика, хотя и позволяет глубже понять природу такой связи.
Второй закон Фика касается распределения диффундирующих атомов в пространстве. Его можно получить из следующих соображений. Пусть примесные атомы диффундируют в среде (например, кремниевой пластине) вдоль оси х. Их распределение вдоль оси х показано нарис. 3.6. Выделим мысленно в среде трубку постоянного сечения S, а в ней – некоторый объем dV=S×dx, ограниченный параллельными плоскостями с координатами x и x+dx. За время dt через сечение S в выделенный объем dV слева войдет j(x)×S×dt молекул. За то же время справа из объема dV выйдет j(x+dx)×S×dt молекул. Тогда общее изменение количества молекул в выделенном объеме dV за время dt будет равно
 |
Поскольку концентрация молекул - это их количество в единице объема, то изменение концентрации молекул dC за время dt будет равно
|
|
|
 |
Из уравнения (3.14) получим
Поскольку концентрация молекул зависит не только от времени, но и от координаты, то в левой части уравнения (3.15) необходимо взять частные производные:
 |
Используя первый закон Фика (3.13), получим
Полученное выражение представляет собой второй закон Фика, или просто уравнение диффузии. В случае, если коэффициент диффузии можно считать не зависящим от координаты, уравнение диффузии примет вид
 |
Решением этого дифференциального уравнения будет функция C(x,t), зависящая от координаты и времени, что позволяет определить распределение примесных атомов по глубине полупроводниковой пластины в любой момент времени.
Диффузия из ограниченного и неограниченного источников
Решение дифференциального уравнения (3.18) зависит от граничных условий. В принципе задать граничные условия можно различным образом, но наибольшее практическое значение получили два вида условий, которые соответствуют двум случаям осуществления диффузии: диффузии из неограниченного источника и диффузии из ограниченного источника. Рассмотрим оба эти случая.
|
|
|
1. Диффузия из неограниченного источника. Граничные условия в этом случае имеют вид:
C(0, t) = Cn = const; C(¥, t) = 0. (3.19)
 |
Согласно данным граничным условиям на поверхности пластины значение концентрации примесных атомов в любой момент времени поддерживается постоянным, несмотря на то, что часть атомов из газовой фазы переходит в полупроводниковую пластину. Это означает, что источник примесных атомов содержит их неограниченное количество (отсюда и название –диффузия из неограниченного источника). Решением уравнения (3.18) при граничных условиях (3.19) будет функция
где Сп – концентрация примесных атомов в приповерхностном слое пластины; erfs(z) – дополнительная функция ошибок, определяемая выражением
 |
Функция erfs(z) протабулирована, что позволяет по известному аргументу определить и само значение функции. Профили распределения примесных атомов по глубине пластины в различные моменты времени представлены на рис. 3.7.
Диффузия из неограниченного источника соответствует первой стадии технологического процесса – загонке примеси. Цель этой операции – сформировать в приповерхностном слое пластины тонкий слой с определенным содержанием примесных атомов. В настоящее время загонка примеси часто осуществляется не путем диффузии, а с помощью метода ионной имплантации, который позволяет более точно контролировать количество внедренных в пластину атомов.
|
|
|
 |
Количество внедренных в приповерхностный слой атомов определяется дозой легирования Q, представляющей собой число атомов, прошедших через единичную поверхность пластины за все время проведения диффузии:
 |
где j(0, t) – плотность потока атомов через единичную поверхность пластины, которую можно найти из первого закона Фика
Подставив (3.20) в (3.22), можно вначале определить j(0, t) , а затем с помощью (3.21) и дозу легирования Q. Проведя данные преобразования, можно получить
 |
 |
2. Диффузия из ограниченного источника. Граничные условия в этом случае имеют вид
 |
Граничные условия (3.23) означают, что неизменным остается общее количество примесных атомов, введенных в пластину на предыдущей стадии. Этот случай соответствует второй стадии технологического процесса – разгонке примеси, которую проводят при более высокой температуре, чем загонку. Цель этой операции – сформировать нужный профиль распределения примесных атомов по глубине и, тем самым, обеспечить нужную глубину залегания р-п-перехода. Решением уравнения диффузии (3.18) с учетом граничных условий (3.23) будет функция Гаусса
|
|
|
График распределения примесных атомов по глубине в различные моменты времени представлен на рис. 3.8. Серым цветом показан приповерхностный слой пластины, куда с помощью загонки было внедрено определенное количество примесных атомов. Здесь же пунктиром показана исходная концентрация примесных атомов, которыми пластина была легирована ранее, а также глубина залегания р-п-перехода. Предполагается, что тип примесных атомов, присутствующих в пластине ранее и вводимых в настоящее время, различен, то есть были доноры, а вводятся акцепторы и наоборот.
 |
Глубину залегания р-п-перехода можно рассчитать аналитически, если известны доза легирования Q и исходная концентрация примеси Сисх:
 |
где величина С0 определяется выражением
Таким образом, если известна доза легирования, исходная концентрация примесных атомов в пластине, а также технологические параметры процесса (тип примесных атомов и температура), то можно рассчитать время диффузии, которое необходимо для того, чтобы сформировать p-n-переход на заданной глубине.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1472; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!