Теорема Остроградского-Гаусса. Третье и четвертое уравнения Максвелла
В этом вопросе формулируются теоремы Остроградского-Гаусса для электрической и магнитной индукции, представляется обобщения этих теорем, сделанных Максвеллом. Дается физическая трактовка непрерывности магнитных силовых линий и раскрывается физический смысл 3-го и 4-го уравнений Максвелла.
Вначале вспомним теорему Остроградского–Гаусса, которая в математике формулируется следующим образом: поток поля через замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции по объему V, ограниченному этой поверхностью: 
, где: 
– некоторая векторная величина.
В электростатике эта теорема Остроградского-Гаусса, получена на основе экспериментальных данных и устанавливает связь между вектором электрической индукции 
и величиной порождающего его электрического заряда q. Итак, поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность S равен электрическому заряду, заключенному внутри этой поверхности.
. (20)
Данное выражение устанавливает, что:
- источниками силовых линий электрического поля могут являться только электрические заряды;
- силовые линии вектора электрической индукции выходят (начинаются) на положительном заряде (см. рис. 6) и входят (заканчиваются) на отрицательном заряде, т.е. силовые линии вектора имеют исток и сток.
Рис. 6 – Пояснение к теореме Гаусса для электрической индукции
|
|
|
Количественно поток вектора электрической индукции через некоторую замкнутую поверхность S можно оценить числом пересекающих эту поверхность силовых линий. Причем:
- если число входящих линий больше выходящих, то поток считается отрицательным;
- если число входящих линий меньше выходящих, то поток считается положительным.
Пояснение к сказанному приведено на рис. 7.
Рис. 7 – Количественная оценка потока вектора электрической индукции 
Для соответствующих объемов V1, V2 и V3 имеем:
; 
; 
.
Максвелл обобщил теорему Остроградского-Гаусса, предложив рассматривать ее не только для постоянных полей, но и для переменных полей.
Представим (20) в более общем виде. Если в некотором замкнутом объеме V, ограниченном поверхностью S заключено несколько электрических зарядов, то совокупный заряд в этой области представляется через объемную плотность электрического заряда ρ:
. (21)
Тогда:
. (22)
Полученное выражение носит название 3-го уравнения Максвелла: в интегральной форме: поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность S равна сумме зарядов с объемной плотностью ρ в объеме V, ограниченном этой поверхностью.
|
|
|
Данное уравнение показывает также, что силовые линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются на зарядах.
Для того чтобы записать 3-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме используем теорему Остроградского-Гаусса.
Тогда:
, (23)
или
. (24)
Уравнение (24) носит название 3-го уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Из этого уравнения следует, что дивергенция (или извержение) вектора электрической индукции равна объемной плотности заряда 
, следовательно, источником электростатического поля является электрический заряд.
Из курса общей физики известен экспериментальный факт, что силовые линии магнитного поля независимо от того, создано ли это поле постоянным магнитом или катушкой с переменным током, образуют в пространстве замкнутые линии (например, опыт с железными опилками и постоянным магнитом из школьной программы по физике), как показано на рис. 8.
Рис 8 – Пояснение к теореме Остроградского-Гаусса для магнитной индукции
Расположим внутри области существования магнитного поля произвольный объем V, ограниченный поверхностью S. Из замкнутости силовых линий следует, что число входящих линий всегда будет равно числу входящих. Следовательно, поток вектора магнитной индукции будет равен нулю.
|
|
|
Этот факт закреплен в теореме Остроградского-Гаусса для магнитной индукции: поток вектора магнитной индукции В через любую замкнутую поверхность S равен нулю:
. (25)
Уравнение (25) устанавливает:
- силовые линии вектора магнитной индукции всегда непрерывны, т.е. образуют замкнутые линии.
- в природе не существует магнитных зарядов.
Уравнение (25) кроме того, носит название 4-го уравнения Максвелла в интегральной форме.
Используя теорему Остроградского-Гаусса представим 4-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
, (26)
Или: 
(27)
Это означает, что нет извержения вектора магнитной индукции 
.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 696; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!