Закон электромагнитной индукции. Второе уравнение Максвелла
Лекция № 5 – 6. Основные уравнения электромагнитного поля
Учебные вопросы лекции:
Закон полного тока. Первое уравнение Максвелла.
Закон электромагнитной индукции. Второе уравнение Максвелла.
Теорема Остроградского-Гаусса. Третье и четвертое уравнения Максвелла.
Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности.
Полная система уравнений электродинамики. Уравнения Максвелла в комплексной форме.
Классификация электромагнитных полей. Разграничение сред по признаку электропроводности.
Введение
Вся теория электромагнитного поля базируется на трех экспериментально установленных законах: это законы Ш. Кулона, М. Фарадея и полного тока А. Ампера, а так же на теореме Остроградского-Гаусса для электрической и магнитной индукции. Эти законы и теорема были обобщены Дж. К. Максвеллом, который привлек к созданию своей теории великую гипотезу о токе смещения.
Уравнения Максвелла являются фундаментальными в том смысле, что пока не известны более общие законы природы, из которых бы они вытекали. Поэтому уравнения Максвелла нужно знать наизусть! Остальное не нужно заучивать, а нужно понять.
В данной лекции формулируются основные законы теории электромагнитного поля, для каждого из них вводится соответствующее уравнение Максвелла, которые вместе образуют систему уравнений электродинамики и в общем виде записываются в комплексной форме; приводится классификация электромагнитных полей.
|
|
|
Закон полного тока. Первое уравнение Максвелла
В этом вопросе формулируются закон полного тока, вводится понятие тока смещения, производится обобщение закона полного тока, раскрывается физический смысл 1-го уравнения Максвелла.
В начале 19 века датский физик Ханс Кристиан Эрстед установил важнейший для теории электромагнетизма экспериментальный факт, который заключается в том, что протекание электрического тока по проводнику приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля (например, меняется пространственная ориентация магнитной стрелки компаса вблизи проводника с током).
На основании открытия Эрстеда, французский физик Андре-Мари Ампер сформулировал закон полного тока: циркуляция по контуру L вектора напряженности магнитного поля Н, вызванного протеканием токов I1, I2, I3,…, равна полному току Iå, т.е. алгебраической сумме токов (см. рис. 1):
. (1)
С учетом того, что ток проводимости определяется, как интеграл по поверхности от плотности тока проводимости (см. выражение (2)):
(2)
|
|
|
Тогда уравнение (1) преобразуется к виду:
= 
, (3)
т.е. вычисление криволинейного интеграла заменяется вычислением поверхностного интеграла, где: S – поверхность, ограниченная контуром L.
Рис. 1 – Графическое пояснение закона полного тока
При вычислении алгебраической суммы токов следует учитывать знаки токов: положительным будем считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Если выбранный контур не охватывает токов, то циркуляция вектора В по нему равна нулю.
Максвелл дополнил закон Ампера, впервые предположив, что закон полного тока справедлив не только для постоянных полей, но и для переменных полей, если к току проводимости добавить еще один ток, названный им током смещения. Выясним характер его возникновения. Из практики известен факт протекания переменного электрического тока по цепи, содержащей конденсатор (см. рис. 2).
Рис. 2 – Возникновение тока смещения
Это означает, что ток течет не только по проводнику (Iпр), но и по пространству между обкладками конденсатора, в котором отсутствуют какие-либо носители электрического заряда. Поэтому, можно предположить, что в рассматриваемой области протекает некий ток, природа которого принципиально отлична от природы тока проводимости, изученного ранее в курсе общей физики, поскольку этот ток обусловлен не движением электрических зарядов, а движением материи между обкладками конденсатора в форме поля. Данный ток, получивший название тока смещения, вызван существованием переменного электрического поля:
|
|
|
. (4)
По аналогии с (2) можно ввести понятие плотности тока смещения:
. (5)
Поскольку, как установлено в предыдущей лекции, вектор электрической индукции (вектор электрического смещения) равен 
, то вектор плотности тока смещения:
. (6)
Следовательно, ток смещения фактически состоит из двух составляющих:
1) 
- плотности электрического тока смещения в вакууме. Этот ток образован изменением во времени напряженности электрического поля.
2) 
- плотности электрического тока поляризации. Этот ток образован попеременным смещением в атомах вещества связанных зарядов (например, смещением орбит электронов относительно положительно заряженных ядер атомов).
|
|
|
Отличительной особенностью тока проводимости от тока смещения является следующее: ток проводимости связан с движением свободных электрически заряженных частиц под действием электрического поля, тогда как ток смещения определяется лишь изменением во времени вектора электрической индукции.
С учетом изложенного, закон полного тока для переменных полей, называемый обобщенным законом полного тока или 1-м уравнением Максвелла в интегральной форме, запишется следующим образом:
. (7)
Итак, циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по любому замкнутому контуруLравна сумме истинного электрического тока и тока смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
Это уравнение является обобщением закона Био–Савара–Лапласа и показывает, связь между полным током и порождаемым им магнитным полем, то есть магнитные поля могут создаваться либо движущимися зарядами (токами проводимости), либо переменными электрическими полями.
Уравнение (7) записано в интегральной форме, т.е. в нем магнитное поле в некоторой области связывается с токами, имеющимися в этой области.
Однако во многих случаях представляет интерес связь между векторами поля в данной точке с токами (или зарядами) действующих в этой же точке. Математически это означает, что необходимо перейти от интегральной формы представления к дифференциальной.
Чтобы осуществить преобразование с 1-м уравнением Максвелла, используем уже известную теорему Кельвина-Стокса, согласно которой циркуляция поля по контуру L равна потоку ротора вектора через любую поверхность S, ограниченную этим контуром, т.е. 
, где: 
– некоторая векторная величина. Тогда получим:
, или:
. (8)
Уравнение (8) называют 1-ым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.
Математическая операция 
(ротор) означает, что магнитное поле вокруг проводников с током имеет вихревой характер, то есть его силовые линии имеют вид колец, «надетых» на вектор, показывающий направление тока. Причем отличен от нуля только для вихревого поля с кольцеобразными замкнутыми силовыми линиями.
Здесь уместно сказать, что первое уравнение дает прекрасный критерий для различения диэлектриков и проводников. Если в среде токи проводимости больше токов смещения, то среда – проводник, если меньше, то диэлектрик. Идеальный диэлектрик – вакуум, в котором токи проводимости вообще отсутствуют. Колебания тока проводимости синфазны с колебаниями электрического поля, поэтому токи проводимости вызывают выделение энергии в среде с проводимостью, что приводит к тепловым потерям и уменьшению энергии электромагнитного поля.
Итак, первое уравнение Максвелла утверждает, что изменения электрического поля порождают вихревое магнитное поле, причем как за счет токов проводимости, так и токов смещения.
Закон электромагнитной индукции. Второе уравнение Максвелла
В данном вопросе формулируется закон Фарадея и представляется обобщение этого закона, сделанное Максвеллом, раскрывается физический смысл 2-го уравнения Максвелла.
|
Рис. 3 – Графическое пояснение к закону М. Фарадея
На основании своих опытов сформулировал закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): электрический ток Iпр, индуцируемый в замкнутом проводнике с сопротивлением R, равен скорости убывания магнитного потока Ф, проходящего через поверхность S, ограниченную контуром проводника L.
Iпр R = 
. (9)
Из курса общей физики связь между магнитным потоком и вектором магнитной индукции определяется выражением:
, (10)
тогда: Iпр R = – 
, (11)
т.е. электрический токIпр, индуцируемый в замкнутом проводнике с сопротивлением R, порождается переменным магнитным полем (см. рис. 3).
Максвелл обобщил закон Фарадея, придав термину «контур» более широкий смысл. В формулировке Фарадея «контур» – это замкнутая цепь проводника (проволочки), в формулировке Максвелла «контур» – это произвольно расположенная в пространстве замкнутая линия (проведенная, например, частично в диэлектрике и частично в проводнике).
Представим (11) в более общем виде. Поскольку ток проводимости (см. 2) есть: 
, то предположив, что плотность электрического тока проводимости 
распределена равномерно по поперечному сечению проводника S1 (см. рис. 4), можно записать в этом случае:
, (12)
Наконец, используя закон Ома в дифференциальной форме 
, окончательно получаем:
, (13)
где: σ – удельная проводимость.
Из курса общей физики известно, что сопротивление цилиндрического проводника длиной l (см. рис. 4) определяется как: R = 
, или в общем виде (при замкнутом контуре L):
R = 
. (14)
Рис. 4 – К выводу сопротивления цилиндрического проводника.
Тогда получаем, что электрический ток Iпр, индуцируемый в замкнутом проводнике с сопротивлением R, равен циркуляции напряженности электрического поля, представляющей собой электродвижущую силу (ЭДС):
. (15)
И окончательно, с учетом равенства уравнений (11) и (15), имеем:
. (16)
Это и есть второе уравнение Максвелла в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряженности электрического поля Е (т.е. ЭДС) по любому замкнутому контуру L равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур с обратным знаком.
Уравнение (16) показывает, что изменение во времени вектора магнитной индукции, возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле (см. рис. 5).
Рис. 5 – Возбуждение вихревого электрического поля
Второе уравнение Максвелла в интегральной форме описывает явление электромагнитной индукции и устанавливает количественную связь между электрическими и магнитными полями: переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле, а источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.
Используя теорему Кельвина-Стокса, перепишем уравнение Максвелла:
. (17)
Окончательно получим 2-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
. (18)
Это означает, что электродвижущая сила в любом замкнутом контуре равна скорости изменения (т.е. производной по времени) магнитного потока или то, что вихревое электрическое поле порождается изменениями магнитного поля.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 775; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!