Нелинейная аппроксимация эмпирических данных

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Если экспериментальные точки располагаются вдоль некоторой линии, сходной поформе, например, с графиком гиперболической, показательной, логарифмической илидругих функций с неизвестными параметрами, то они могут выбраны в качестве аппроксимирующих.

Затем проводится линеаризация этой функции с помощью замены переменных и задачасводится к аппроксимации линейной зависимостью.

Рассмотрим некоторые нелинейные аппроксимации эмпирических данных.

1. Экспоненциальная аппроксимация. Пусть на основании графического изображения в качестве эмпирической функции выбирается экспоненциальная функция

(8)

Взятую в таком виде экспоненциальную функцию можно линеаризовать. Для этого прологарифмируем правые и левые части равенства (8), получим

(9)

Теперь, рассмотренный выше метод наименьших квадратов применительно к линейной функции, можно применить к линейной функции

(10)

где

Определив параметры линейной функции, находим соответствующие параметры экспоненциальной функции, то есть

(11)

2.Логарифмическая аппроксимация. Пустьна основании графического изображения в качестве эмпирической функциивыбирается логарифмическая функция

(12)

Поиск параметров функции можно осуществить методом наименьших квадратов применительно к линейной функции

(13)

где

3.Степенная аппроксимация. Если в качестве эмпирической функции выбирается степенная функция вида

(14)

то логарифмируя последнее соотношение, приходим к зависимости

(15)

Нетрудно заметить, что соотношение (15) представляет собой линейное соотношение между логарифмами соответствующих переменных. Сделав замену переменных и приходим к поиску параметров линейной зависимости.

После нахождения параметров линейной функции, делаем обратную замену и находим соответствующие параметры логарифмической функции:

(16)

4.Дробно-рациональная аппроксимация. Дробно-рациональную зависимость будем рассматривать следующего вида

(17)

Преобразуем ее к виду

(18)

Последнее означает то, что для поиска неизвестных параметров теоретической зависимости достаточно перейти от переменной у к переменной 1/y.

Задание 3.Используя данные, представленные в первом задании (таблица 2), аппроксимировать их методом наименьших квадратов логарифмической и степенной зависимостями.

Решение.Переименуем второй лист в «Нелинейная аппроксимация». Будем аппроксимировать логарифмической функцией. Для этого проделаем следующее. Скопируем исходные данные из ячеек А7:С17 листа «Линейная аппроксимация» в те же самые ячейки листа «Нелинейная аппроксимация». В ячейках D7:D17находим Для этого в ячейку D7вводим формулу «=LN(B7)» и протягиваем ее до ячейки D17.Выделяя ячейкиB21и D21, вводим в них формулу «=ЛИНЕЙН(C8:C17;D8:D17)» и нажимаем «Ctrl+Shift+Enter». Это позволяет получить в них значения параметров линейной аппроксимации a и b. Округляем их с точностью до двух знаков после запятой. Далее вычисляем теоретические значения y_t по формуле (12) и сумму квадратов невязок. Результаты вычислений представляем в столбцах Еи Fсоответственно: в ячейку Е8 вводим «=$C$21*LN(B8)+$D$21», а в ячейку F8 – «=(E8-C8)^2». Выделяем эти ячейки и протягиваем их до Е17иF17. В ячейке F18 находим сумму квадратов отклонений. Результаты расчетов визуализируем построением соответствующей диаграммой. На диаграмме отмечаем исходные эмпирические данные (точечная диаграмма) и полученную логарифмическую зависимость, которую строим в виде сглаженной кривой (Рис. 6).

Рис.6. Логарифмическая аппроксимация эмпирических данных

Аналогичным образом строится степенная аппроксимация. Копируем исходные данные из ячеек А7:С17 листа «Линейная аппроксимация» в ячейки А32:С42 листа «Нелинейная аппроксимация». В ячейках D33:D42находим , а в ячейках E33:E42 -- . Для этого в ячейку D33вводится формула «=LN(B33)», а в ячейку E33 формула «=LN(С33)». Затем они протягиваются до ячеек D42и E42.Выделяя ячейкиB46и D46, вводим в них формулу «=ЛИНЕЙН(E33:E42;D33:D42)» и нажимаем «Ctrl+Shift+Enter». Это позволяет получить в них значения параметров линейной аппроксимации a и b. По формуле (16) находим параметры экспоненциальной зависимости А и В, размещая соответственно в ячейке С49 формулу «=С46», а в ячейке – «=ЕХР(D46)». Округляем полученные значения с точностью до двух знаков после запятой.

Рис.7. Степенная аппроксимация эмпирических данных

Далее вычисляем теоретические значения y_t по формуле (14) и сумму квадратов их невязок. Результаты вычислений представляем в столбцах Fи Gсоответственно: в ячейку F33 вводим «=$D$49*B33^$C$49», а в ячейку G33 «==(F33-C33)^2». Выделяем эти ячейки и протягиваем их до F42иG42. В ячейке G43 находим сумму квадратов отклонений. Результаты расчетов визуализируем построением соответствующей диаграммой. На диаграмме отмечаем исходные эмпирические данные (точечная диаграмма) и полученную степенную зависимость, которую строим в виде сглаженной кривой (Рис. 7).

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1316; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!