Типовые возмущающие воздействия. Временные и частотные характеристики
Если известен закон изменения входной величины, то можно из решения дифференциального уравнения получить закон изменения выходной величины, т. е. характер переходного процесса. В реальных условиях изменения входных величин (возмущающие воздействия) могут иметь самый различный характер.
При исследовании динамики систем автоматического регулирования широко применяется такой искусственный прием: исследуется реакция отдельных элементов и систем на некоторые так называемые типовые возмущающие воздействия, и на основании полученных результатов делаются выводы о свойствах этих элементов и систем. Для этой цели выбирают такие воздействия, которые отражают наиболее существенные особенности реальных возмущений. Тогда, зная реакцию элементов и систем на типовые возмущающие воздействия и представив реальные возмущения как сочетания таких типовых воздействий, можно предсказать характер переходных процессов в элементах и системах при реальных условиях.
Рассмотрим типовые возмущающие воздействия.
Ступенчатая функция.
Рис. 1 Ступенчатые импульсные функции.
Это воздействие равно нулю при t < 0 и равно постоянному значению А при t ≥0 (рис. 1, а), т. е.
F(t)=0 при t < 0; F(t)=А при t ≥0
При А = 1 имеем так называемый единичный скачок (рис.1 б): F(t)=0 при t < 0; F(t)=1 при t ≥0 или f(t)=1(t)
Импульсная функция. Это воздействие можно трактовать как предел прямоугольного импульса, у которого высота H стремится к бесконечности, а время его действия Δt - к нулю, причем его площадь H∙ Δt постоянна и равна A (рис1,в.) При А = 1 имеем так называемый единичный импульс (рис. 1г) или δ- функцию
|
|
|
Импульсное воздействие можно рассматривать как производную от ступенчатого воздействия. Хотя ступенчатая функция не дифференцируема, путем предельного перехода на нее можно распространить понятие производной. Тогда δ(t)= dh(t)/ dt
Зависимость изменения регулируемого параметра системы во времени при воздействии на нее единичного скачка называется переходной функцией и обозначается h(t).
Зависимость изменения регулируемого параметра системы во времени при воздействии на нее единичного импульса δ-функции называется весовой функцией и обозначается W(t). Переходная и весовая функции, называемые временными характеристиками, связаны между собой соотношением dh(t)/d(t)= ω(t)
Рис. 2 Переходная (а) и весовая (б) функции газосборного коллектора
Гармоническая функция.Этот вид воздействия подчиняется закону f(t)==asinωt, или f(t) = Ае j ω t, где А - амплитуда; ω- круговая частота.
Если на вход линейного элемента подать такое возмущение, то по истечении некоторого времени на его выходе также установится гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, что и возмущающее воздействие на входе, но с другими амплитудами и фазой (рис. 3).
|
|
|
Рис.3. Гармонические функции.
При изменении частоты входного воздействия будут меняться амплитуда и фаза выходной величины. Это явление лежит в основе частотных методов исследования систем автоматического регулирования.
Введем некоторые понятия, используемые в частотных методах анализа САР.
Подадим на вход некоторого элемента САР гармоническое воздействие вида Xвх= Ае j ω t
По истечении некоторого времени на выходе этого элемента установятся гармонические колебания вида Xвых= B∙ej(ωt+ φ)=B∙ejωt∙ejφ
Пусть динамические свойства элемента описываются дифференциальным уравнением
T(dXвых/dt)+ Xвых=KXвх и далее продифференцируем:
(dXвых/dt)=jωBej(ωt+ φ) = jωBejωt∙ejφ , подставляя, получим T jωBej(ωt+ φ)+ Bej(ωt+ φ)=KAejωt откуда
K/(Tjω+1)=(B/A)ejφ
В этом соотношении выражение, стоящее слева от знака равенства, есть передаточная функция, в которой pзаменено на jω. Величина W(jω)= K/(Tjω+1) называется амплитудно-фазовой характеристикой элемента.
При некотором фиксированном значении частоты со входного сигнала W(jω) представляет собой вектор с амплитудой В/А (ω) и фазой φ(ω). Изменяя ω от 0 до +∞, получим семейство векторов, а соединив концы этих векторов плавной кривой, - годограф амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). При изменении ω от 0 до - ∞ получается зеркальное отображение этой кривой относительно вещественной оси, поэтому при практических расчетах ограничиваются положительными значениями ω.
|
|
|
Построим амплитудно-фазовую характеристику.
Рис. 4. Амплитудно-фазовая характеристика
Изменяя ω от 0 до ∞ получим АФХ, показанную на рис.4.
Функция P(ω) называется вещественной частотной характеристикой, а функция Q (ω) - мнимой частотной. Функция В/А(ω) амплитудно-частотной,а функция φ(ω) - фазо-частотной характеристиками.
Таким образом, представив реальное возмущение сочетанием ступенчатого, импульсного и гармонического воздействий и зная передаточную функцию, переходную, весовую, амплитудно-фазовую характеристики системы, можно предсказать характер изменения регулируемого параметра (выходной величины) этой системы.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 925; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!