Задачи для самостоятельного решения

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

1. Вычислить молярные теплоемкости алмаза и цезия при температуре 200 К. Температура Дебая для алмаза и цезия соответственно равна 1860 и 38 К.

2. Вычислить удельную теплоемкость рубидия при температурах 3 и 300 К. Температура Дебая для рубидия 56 К.

3. Молярная теплоемкость селена при температуре 5 К равна 0,333 Дж/(моль∙К). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру селена.

4. Удельная теплоемкость молибдена при температуре 25 К равна 3,47 Дж/(кг∙К). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру молибдена.

5. Найти количество теплоты, необходимое для нагревания 50 г железа от 10 до 20 К. Температура Дебая для железа равна 470 К.

6. Какое количество теплоты необходимо для нагревания 1 моля никеля от 5 до 15 К? Температура Дебая для никеля равна 450 К.

7. Определите энергию U₀ нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона (θ_D = 92 К).

8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди с дебаевской температурой θ_D = 330 К.

9. Найти отношение среднего числа фононов в кристалле, имеющих энергию в два раза меньше максимальной, к среднему числу фононов с максимальной энергией при температуре 300 К. Дебаевская температура кристалла равна 150 К.

10. Определите в электронвольтах энергию Е фонона, который может возбуждаться в кристалле NaCl, характеризуемом температурой Дебая θ_D = 320 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой энергией?

11. При давлении р = 1013∙10² Па аргон затвердевает при T = 84 К, θ_D(Ar) = 92 К. Экспериментально установлено, что при Т₁ = 4 К молярная теплоемкость аргона С₁ = 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной теплоемкости С₂ при Т₂ = 2 К.

12. Атомная масса серебра A_r = 107,9, плотность ρ = 10,5 г/см³. Исходя из этих данных, оценить максимальное значение p_m импульса фонона в серебре.

13. Какое число фононов максимальной частоты возбуждается в среднем при температуре Т = 400 К в кристалле, дебаевская температура которого θ_D = 200 К?

14. Определить θ_D для Be, если концентрация равна n = 1,23×10²⁹ м^–3, v_^ = 8830 м/с и v_║ = 12550 м/с.

15. Определить θ_D для Ag, если концентрация равна n = 0,586×10²⁹ м^–3, v_^ = 1590 м/с и v_║ = 3600 м/с.

16. Определить θ_D для Pb, если концентрация равна n = 0,328×10²⁹ м^–3, v_^ = 700 м/с и v_║ = 2160 м/с.

17. Определить температуру Дебая для Al, если v_^ = 3130 м/с и v_║ = 6400 м/с.

18. Приняв для Ag θ_D = 208 К определить максимальное значение энергии фонона и среднее количество фононов с этой энергией при Т = 300 К.

19. В кристалле NaCl при температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема C_V = 830×10^–4 Дж/(м³∙К). Оценить скорость звука в кристалле и его θ_D. Постоянная решетки NaCl равна а = 0,3 нм.

20. Определить среднюю скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого θ_D = 396 К

21. Найти максимальную частоту ω_max собственных колебаний в железе, если при Т = 20 К его удельная теплоемкость c_V = 2,7 мДж/(кг∙К) и Т << θ_D.

22. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль∙К)?

23. При нагревании кристалла меди массы m = 25 г от Т₁ = 10 К до Т₂ = 20 К ему было сообщено количество тепла Q = 0,80 Дж. Найти θ_D для меди, если θ_D >> T₁ и T₂.

24. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние а = 0,3 нм и скорость распространения акустических колебаний v_зв = 4 км/с.

25. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.

11. Полупроводники и диэлектрики

Неметаллы отличаются от проводников наличием зоны запрещенных энергий E_g для электронов. Структуры энергетических зон собственного полупроводника приведена на рис.11.1 а. Состояния, лежащие выше запрещенной зоны, называются зоной проводимости СВ и при Т=0 К пусты. Состояния, лежащие ниже запрещенной зоны, называются валентной зоной VB и при T=0 K полностью заполнены. Распределение электронов по энергиям в общем случае подчиняется статистике Ферми-Дирака. Однако при комнатных температурах энергии электронов и дырок значительно отличаются от энергии Ферми E-E_F>3kT, поэтому единицей в знаменателе функции распределения можно пренебречь и перейти к статистике Максвелла-Больцмана. Таким образом, электронный газ в полупроводнике не вырожден, но при этом продолжает действовать принцип Паули.

При T>0 K существует конечная вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости, появляются свободные электроны и дырки в зонах. Однако идет и обратный процесс – возврат электронов из зоны проводимости в валентную зону и исчезновение пары электрон-дырка. Этот процесс называется рекомбинацией. В результате устанавливается динамическое равновесие. Равновесная концентрация n_i, p_i собственных свободных носителей заряда в кристалле с шириной запрещенной зоны E_g при температуре Т равна

(11.1)

Здесь N_c - эффективная плотность энергетических состояний в зоне проводимости

, (11.2)

m_n – эффективная масса электронов. Коэффициент 2 учитывает, что на энергетическом уровне могут находиться два электрона. Эффективная плотность состояний в валентной зоне N_v равна

, (11.3)

а m_p – эффективная масса дырок.

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется температурой - при Т=0 К уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны, с ростом температуры смещается

. (11.4)

Подставляя в это выражение соотношения (11.2) и (11.3) получим

, (11.5)

При введении примесей (легировании) в запрещенной зоне возникают примесные энергетические уровни, которые в зависимости от типа примеси располагаются либо вблизи дна зоны проводимости E_c (донорные уровни, рис.11.1, б), либо вблизи потолка валентной зоны E_v (акцепторные уровни, рис.11.1, в). Примеси также могут поставлять свободные носители зараяда.

В случае донорных полупроводников концентрация примесных электронов n_d определяется количеством ионизированных доноров и эффективным числом состояний в зоне проводимости N_c

. (11.6)

В случае акцептроных полупроводников концентрация примесных дырок определяется количеством ионизированных акцепторов, и эффективным числом состояний в валентной зоне N_v

. (11.7)

Равновесная полная концентрация свободных электронов n определяется соотношением

, (11.8)

а полная концентрация дырок в валентной зоне p, соответственно, равна

. (11.9)

Положение уровня Ферми E_F в полупроводнике зависит как от температуры, так и от концентрации примесей. Для полупроводника n-типа с концентрацией доноров N_d

. (11.10)

Для полупроводника р-типа с концентрацией акцепторов N_a

. (11.11)

Обычно положение уровней в полупроводнике отсчитывается от потолка валентной зоны E_v (или от дна зоны проводимости E_c).

При изменении степени легирования изменяется и положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в зонах. В случае невырожденного полупроводника увеличение концентрации одного типа свободных носителей (например, электронов), приводит к увеличению скорости рекомбинации и соответствующему уменьшению концентрации второго типа свободных носителей (дырок). Поэтому при термодинамическом равновесии справедлив закон "действующих масс":

. (11.12)

Экспериментально ширину запрещенной зоны полупроводника и концентрацию примесей определяют по измерениям электропроводности и спектров поглощения.

Электропроводность кристалла

, (11.13)

где μ_n и μ_р – подвижности электронов и дырок соответственно. Собственная проводимость зависит от температуры как

. (11.15)

При освещении кристалла светом поглощение начинается только тогда, когда энергия кванта света равна или больше ширины запрещенной зоны

. (11.16)

Поэтому, в спектрах поглощения наблюдается пороговая длина волны λ_пор, соответствующая краю собственного поглощения.

Тип основных носителей заряда и их подвижность обычно определяют с помощью эффекта Холла. При помещении кристалла с током I толщиной d в поперечное магнитное поле В появляется разность потенциалов

, (11.17)

где R_H – постоянная Холла. Для полупроводников со структурой алмаза или сфалерита, обладающих носителями одного вида (n или p):

. (11.18)

Знак U_H позволяет определить тип преобладающих носителей заряда.

Примеры решения задач

1. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при 300 К, если известно, что ширина его запрещенной зоны E_g = 0,665 эВ, а эффективные массы плотности состояний для дырок и электронов равны соответственно m_v = 0,388m_e, m_c = 0,55m_e, где m_e – масса электрона.

Решение. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется выражением . Эффективные плотности состояний для электронов в зоне проводимости и для дырок в валентной зоне и . В данном случае N_v = 6,04∙10²⁴ м^–3 и N_c = 1,02×10²⁵ м^–3. Таким образом, . Подставляя численные данные, получим E_F – E_v = 0,326 эВ.

2. Вычислить для температуры Т = 40 К концентрацию дырок и удельное сопротивление кремния, легированного бором до концентрации N_a = 10²² м^–3, если эффективная масса плотности состояний m_v = 0,56m_e, положение энергетического уровня бора E_a = E_v + 0,045 эВ, а подвижность дырок равна μ_p = 0,928 м²/(В∙с).

Решение. Оценим энергию теплового возбуждения при температуре 40 К kT = 8,625×10^–5×40 эВ = 3,5×10^–3 эВ. Эта величина много меньше энергии активации акцептора ΔE_a = E_a – E_v = = 0,045 эВ >> 3,5×10^–3 эВ. Поэтому концентрация собственных носителей (дырок) пренебрежимо мала и концентрации дырок определяется только примесями: . Эффективная плотность состояний для дырок валентной зоны N_v . Подставляя численные значения, получим N_v = 5,1×10²³ м^–3. Тогда для концентрации дырок имеем p = 1,05×10²⁰ м^–3. Удельное сопротивление материала . Окончательно получим ρ = 6,4∙10^–2 Ом∙м.

3. Прямоугольный образец полупроводника n-типа с размерами a = 50 мм, b = 5 мм, d = 1 мм помещен в магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости образца. Под действием напряжения U_a = 0,42 В, приложенного вдоль образца, по нему протекает ток I = 20 мА. Измерения показывают ЭДС Холла U_H = 6,25 мВ. Найти удельную проводимость, подвижность и концентрацию носителей заряда для этого полупроводника, полагая, что электропроводность обусловлена носителями только одного знака.

Решение. Удельное сопротивление полупроводника . Подстановка численных величин дает ρ = 2,1×10^–3 Ом×м. Отсюда следует, что удельная проводимость γ = 1/ρ = 480 (Ом×м)^–1. Коэффициент Холла найдем по формуле = 6,25×10^–4 м³/Кл. Концентрация электронов , что дает n = 10²² м^–3. Из выражения следует, что подвижность электронов . Подставляя численные значения, получим μ_n = 0,3 м²/(В×с).

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2153; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!