Задачи для самостоятельного решения

Nbsp;   6. Строение атома   Решая уравнение Шредингера для электрона в кулоновской яме ядра, показывает, чтоэлектрон в атоме может иметь следующие энергии: ,                            (6.1) где me – масса электрона, Z – атомный номер, n = 1, 2, 3… – главное квантовое число. Наиболее вероятное расстояние электрона в состоянии n от ядра: .                                 (6.2) При n = 1 и Z = 1 это расстояние совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Модуль момента импульса электрона в атоме может принимать значения .                               (6. 3) Число ℓ = 0, 1, 2,…n – 1.. называется орбитальным квантовым числом. Проекция момента импульса на любую ось (например, z) тоже может принимать лишь определенные значения ,                                     (6.4) где mℓ = 0, ±1, ±2, …, ±ℓ и называется магнитным квантовым числом. Магнитное квантовое число определяет также проекцию магнитного момента, создаваемого движением электрона вокруг ядра: .                                  (6.5) Модуль магнитного момента электрона ,                              (6.6) где = 0,927∙10–23 Дж/Тл – магнетон Бора. Отношение модулей орбитальных магнитного и механического моментов называется гиромагнитным отношенеим .              (6.7) Электрон обладает также собственным механическим моментом импульса, равным ,                              (6.8) где s = 1/2–спиновое квантовое число. Соответствующий ему магнитный момент также квантован .                             (6.9) Проекции спинового момента импульса и магнитного момента на направление z внешнего магнитного поля равны и ,                     (6.10) где ms – спиновое квантовое число, может принимать значения ±1/2. Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов оказывается в два раза больше, чем для орбитальных моментов     Рис.6.1     .    (6.11) Орбитальный Lℓ и спиновый Ls моменты импульса электрона складываются и дают полный момент импульса электрона j (рис.6.1). Он квантуется так же ,                               (6.12) где  – внутреннее квантовое число. Проекция полного момента на направление внешнего магнитного поля ,                                    (6.13) где mj может принимать 2j + 1 значение от –j до j. Для описания состояния электрона в атоме используют четыре квантовых числа: n, ℓ, mℓ и ms. или n, ℓ, j, mj. Обычно для орбитального квантового числа используют буквенные обозначения:   ℓ 0 1 2 3 4 обозначение s p d f g   При втором способе описания термов используют следующие обозначения: состояния с ℓ = 0, 1, 2, 3,… обозначаются соответственно s, p, d, f, … Справа внизу указывается значение квантового числа j, а слева наверху величина 2s + 1 – мультиплетность терма. Например, 3p0 означает, что ℓ = 1, s = 1, j = 0. Из-за разных гиромагнитных отношений для спинового и орбитального моментов суммарный магнитный момент оказывается непараллельным суммарному механическому моменту. Поэтому вводится специальный коэффициент gЛ – фактор Ланде, который есть не что иное, как коэффициент пропорциональности между j и μj: ,                                (6.14) .               (6.15) Чтобы описать структуру сложного атома, надо знать состояния всех его электронов. В легких и средних атомах орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент ,                (6.16) а спиновые – в суммарный спиновый:                                   (6.17) и полный момент .                                    (6.18) В тяжелых атомах полный момент равен сумме полных моментов отдельных электронов ,                                       (6.19) где . Магнитный момент атома .                         (6.20) Состояния атомов обозначаются так же, как это делается для отдельных электронов, но большими буквами. Например, 3P0 означает, что L = 1, S = 1, J = 0. Порядок заполнения энергетических уровней в атоме определяется эмпирическими правилами Клечковского. Первое правило Клечковского: сначала будут заполняться уровни с наименьшей суммой квантовых чисел n + ℓ. Второе правило Клечковского: если два уровня имеют одинаковую сумму квантовых чисел n + ℓ, то первым будет заполняться уровень с меньшим n. Электроны подчиняются принципу Паули: каждый энергетический уровень может быть заселен не более чем двумя электронами с противоположными спинами. Энергии некоторых состояний могут совпадать, т.е. может иметь место вырождение. В этом случае электроны заселяют состояния таким образом, чтобы спин S атома был максимален и, при этом по возможности максимальным было значение L – правило Гунда. При попадании атома во внешнее магнитное поле В с полем взаимодействуют как орбитальный, так и спиновый магнитные моменты электронов. Кроме того, эти моменты взаимодействуют между собой (спин-орбитальное взаимодействие). В случае слабого поля взаимодействие магнитных моментов с внешним полем меньше, чем спин-орбитальное взаимодействие, и атом приобретает дополнительную энергию ,                       (6.21) которая зависит от квантового числа mJ, т.е. снимается вырождение по mJ. В сильном магнитном поле спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь, связь между L и S разрывается, и они проецируются на направление поля независимо друг от друга. В этом случае .                          (6.22)    

Примеры решения задач

 

1. Определите максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых данным главным квантовым числом n.

Решение. Каждому квантовому числу n соответствует n различных значений орбитального квантового числа ℓ: ℓ = 0, 1, 2,…, (n – 1). В свою очередь каждому значению ℓ соответствуют 2ℓ + 1 значения магнитного квантового числа: m_ℓ = 0, ±1, ±2,…, ±ℓ. На каждом уровне m_ℓ могут быть 2 электрона со спиновыми квантовыми числами m_s = ±1/2. Полное количество электронов на оболочке n равно .

2. Электрон в атоме находится в d-состоянии. Определите: а) орбитальный момент импульса электрона; б) максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

Решение. Электрон в d-состоянии описывается орбитальным квантовым числом ℓ = 2. Модуль орбитального момента при этом равен . Проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поля может принимать значения , соответствующие различным величинам магнитного квантового числа m_ℓ: m_ℓ = 0, ±1, ±2. Максимальная проекция орбитального момента соответствует максимальному значению m_ℓ = 2: .

3. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующее спектральное обозначение терма атома натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое число n = 4.

Решение. Атом натрия имеет один электрон на внешней оболочке и спин этого электрона равен 1/2. Поэтому мультиплетность равна 2S + 1 = 2. Механический момент будет максимальным, если максимальным будет и орбитальное квантовое число. Данному n = 4 соответствует максимальное значение L = 3. Внутреннее квантовое число J = L + S = 3 + 1/2 = 7/2. Максимально возможный механический момент будет равен . Обозначение соответствующего терма ²F_7/2.

4. Найти полное расщепление терма ²D_3/2 в магнитном поле В = 2 Тл, считая его а) слабым, б) сильным полем.

Решение. Состояние ²D_3/2 означает, что J = 3/2, L = 2, S = 1/2. Фактор Ланде

.

а) Дополнительная энергия этого состояния в слабом магнитном поле . Квантовое число m_J может принимать 2J + 1 значений от –J до J. Полное расщепление соответствует разности энергий уровней с m_J = –3/2 и m_J = 3/2 . Подставляя численные данные, получим Δε = 276,9×10^–6 эВ.

б) Энергетический сдвиг в сильном магнитном поле ΔE = μ_BB(m_L + 2m_S). Квантовые числа m_L и m_S могут иметь значения от –2 до 2 и от –1/2 до 1/2 соответственно. Величина (m_L + 2m_S) будет иметь максимальное значение 3 и минимальное значение –3. Максимальное расщепление будет равно . Подставляя численные значения, получим Δε = 692,3×10^–6 эВ.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 3. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) m_s = –1/2; б) m_ℓ = 0; в) m_ℓ = –1, m_s = 1/2.

2. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 4. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) m_ℓ = –3; б) m_s = 1/2, m_ℓ = 2; в) m_s = –1/2, m_ℓ = 1.

3. Сколько электронов в атоме могут иметь одинаковые квантовые числа: а) n, ℓ, m_ℓ, m_s; б) n, ℓ, m_ℓ.

4. Валентный электрон атома Na находится в состоянии с n = 3, имея при этом максимально возможный полный механический момент. Каков его магнитный момент в этом состоянии?

5. Определите во сколько раз орбитальный момент импульса L_ℓ электрона, находящегося в f-состоянии, больше, чем для электрона в р-состоянии.

6. 1s электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией Е = 12,1 эВ, перешел в возбужденное состояние с максимально возможным орбитальным квантовым числом. Определите изменение момента импульса ΔL_ℓ орбитального движения электрона.

7. Определите суммарное максимальное число s-, p-, d-, f- и g-электронов, которые могут находиться на N- и O-оболочках атома.

8. Найти кратность вырождения ²p, ³d и ⁴f состояний с максимально возможными полными механическими моментами.

9. Написать электронную формулу элемента №79 и объяснить порядок заполнения уровней.

10. Написать электронную формулу элемента № 47 и объяснить порядок заполнения уровней.

11. У какого элемента заполнены K-, L- и M-оболочки и 4s-подоболочка, а также наполовину заполнена 4p-подоболочка?

12. Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит: а) три d-электронов, б) семь d-электронов.

13. Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит: а) три p-электронов, б) четыре p-электронов.

14. Определить спиновый механический момент атома в состоянии D₂, если максимальное значение проекции магнитного момента в этом состоянии равно 4μ_В.

15. Найти с помощью правила Гунда магнитный момент основного состояния атома, незамкнутая подоболочка которого заполнена ровно наполовину пятью электронами.

16. Возбужденный атом имеет электронную конфигурацию 1s²2s²2p3d и находится при этом в состоянии с максимально возможным полным механическим моментом. Найти магнитный момент атома в этом состоянии.

17. Найти полный механический момент атома в состоянии с S = 3/2 и L = 2, если известно, что магнитный момент его равен 0.

18. Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях ⁴P и ⁵D.

19. Сколько и какие значения квантового числа J может иметь атом в состоянии с квантовыми числами S и L, равными соответственно а) 2 и 3; б) 3 и 3; в) 5/2 и 2

20. На сколько подуровней расщепится в слабом магнитном поле терм: а) ³P₀; б) ²F_5/2; в) ⁴D_1/2? Привести схему уровней.

21. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 0,25 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) ¹P; б) ³F₄. Привести схему уровней.

22. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 1,0 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) ¹S; б) ²D_5/2. Привести схему уровней.

23. Определить максимальную энергию ΔЕ магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии ¹D с магнитным полем, индукция которого а) B = 1 Тл (слабое поле), б) В = 50 Тл (сильное поле). Привести схемы уровней.

24. Атом находится в сильном магнитном поле с индукцией В = 5 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) ¹P; б) ³F₄. Привести схему уровней.

25. Написать спектральное обозначение терма, кратность вырождения которого равна 7, а квантовые числа L и S связаны соотношением L = 3S.

 

Статистика квантовых частиц.

Электроны в металле

 

Квантовые частицы в зависимости от спина s делятся на бозоны (целый спин, s = 1,2,…, фотоны, фононы) и фермионы (полуцелый спин, s = 1/2, 3/2,…, электроны). Для бозонов справедлив закон распределения Бозе-Эйнштейна: вероятность заполнения уровня с энергией Е равна

,                      (9.1)

где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура; E_F – уровень Ферми, это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Для фермионов справедлив закон распределения Ферми-Дирака:

Рис.9.1

.                      (9.2)

При Т = 0 К функция Ферми (9.2) обладает следующими свойствами: f(E) = 1, если E < E_F и f(E) = 0, если E > E_F. (рис.9.1). Если , то единицей в знаменателе можно пренебречь, и оба распределения переходят в

.                      (9.3)

Это так называемое распределение Максвелла-Больцмана. Температура, ниже которой квантовые эффекты становятся существенными, называется температурой вырождения Тв.

Типичным представителем фермионов является совокупность электронов проводимости в металле. Энергия Ферми не зависит от объема металла, а определяется только концентрацией свободных электронов. При Т = 0 К положение уровня Ферми в металле

,                              (9.4)

где m_n – масса электрона в металле ("эффективная" масса), n-концентрация электронов.

Интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле

.                         (9.5)

Распределение свободных электронов по энергиям в металле определяется не только вероятностью заполнения уровней f(E), но и числом состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объема (плотностью состояний) N(E):

.                          (9.6)

где dn – число электронов, приходящихся на энергетический интервал от E до E + dE,

.                       (9.7)

При Т ≠ 0 К

.           (9.8)

Вблизи Т = 0 К:

.                  (9.9)

Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным состояниям:

.           (9.10)

Электронный газ в металлах является вырожденным, т.е. подчиняется статистике Ферми-Дирака, вплоть до температур ~10⁴ К. Вследствие этого в процессе электропроводности могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая их часть, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Ускоряясь электрическим полем на длине свободного пробега, эти электроны приобретают добавочную скорость направленного движения:

,                   (9.11)

где τ_F – время свободного пробега; λ – длина свободного пробега; u_F – тепловая скорость быстрых электронов, обладающих энергией, близкой к E_F. С учетом этого удельная электрическая проводимость металла:

.                    (9.12)

В большинстве случаев можно считать, что эффективная масса электронов в металле равна массе свободного электрона m_n = m_e.

 

 

Примеры решения задач

 

1. Считая, что квантовые свойства "свободных" электронов проводимости в металле становятся существенными в том случае, когда их дебройлевская длина волны становится сравнимой с постоянной решетки а, получить оценку температуры вырождения электронного газа в кристалле с концентрацией атомов n.

Решение. Длина волны де Бройля определяется выражением . Учитывая тепловую энергию kT и связь импульса с энергией , получим . Считая λ ~ a, имеем . Учитывая, что постоянная кристаллической решетки а и концентрация n электронов в простом металле связаны соотношением a ~ (V/N)^1/3 ~ n^1/3, окончательно имеем .

2. Найти среднюю энергию свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К.

Решение. При Т ≈ 0 К уровень Ферми характеризует максимальную энергию электронов в металле. Распределение электронов по энергиям дается выражением (9.6). В соответствии с распределением Ферми-Дирака (рис.9.1) при E < E_F функция f(E) = 1, а при E > E_F функция f(E) = 0. Для определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию n:

.

Учитывая, (9.7) и (9.10), имеем

.

3. Рассчитать положение уровня Ферми и среднее энергетическое расстояние между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в 1 см³ серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра. Плотность серебра ρ = 10,49×10³ кг/м³.

Решение. Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов , где N_A –число Авогадро; А – атомная (или молекулярная) масса; m – масса образца; V – объем образца; ρ – плотность материала. Отсюда энергия Ферми . Подставляя численные значения величин, получаем E_F = 8,8×10^–19 Дж = 5,5 эВ. Среднее энергетическое расстояние между разрешенными уровнями , где N – число уровней, заполненных электронами. Концентрация электронов связана с энергией Ферми выражением (9.10) . Все уровни, лежащие ниже уровня Ферми, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом уровне находятся два электрона. Отсюда следует, что

= 0,188×10^–21 эВ.

4. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при Т = 300 К, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм∙м.

Решение. Удельное сопротивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов λ соотношением

.

Концентрация свободных электронов в меди , где m/V = 8,92×10³ кг/м³ – плотность кристалла; N_A – число Авогадро; А – атомный (молекулярный) вес. Используя численные данные, получим n = 8,45×10²⁸ м^–3. Отсюда следует, что длина свободного пробега . Подставляя численные данные, получим λ = 3,89×10^–8 м.

5. Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние L = 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОм×м, а разность потенциалов на концах проводника U = 220 В. За какое время электрон пролетит это же расстояние, двигаясь без соударений, при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?

Решение. Из закона Ома следует, что удельная проводимость . Отсюда v = E/(ρen) = U/(ρenL). Используя значение концентрации, полученное в предыдущем примере, получим среднюю скорость дрейфа электронов v = 9,6×10^–4 м/с. Время дрейфа электрона по проводу t = L/v = 10⁶ c. При отсутствии столкновений с узлами кристаллической решетки электрон движется равноускоренно (с ускорением а) и время пролета равно . Передача энергии вдоль проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, получим для времени передачи сигнала t_c = L/c = 3,33×10^–6 с.

 

 

---

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2105; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!