Задачи для самостоятельного решения

 

1. Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 6∙10³ К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии с n = 2, к их числу в основном состоянии(n = 1). Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n составляет g_n = 2n².

2. Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 6∙10³ К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии n = 3, к их числу в состоянии n = 2. Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n составляет g_n = 2n².

3. Так называемая "холодная плазма" характеризуется температурой Т = 10⁴ К и концентрацией частиц n = 10¹⁸ м^–3. Оценить температуру вырождения протонной составляющей водородной плазмы. Классической или квантовой статистикой описывается состояние частиц в этой плазме?

4. Какому условию должна удовлетворять концентрация n заряженных частиц в плазме, для того чтобы последняя могла считаться идеальным газом? Удовлетворяет ли условию идеальности так называемая "горячая плазма"?

5. Оценить температуру вырождения электронного газа в меди.

6. Оценить температуру вырождения для газа электронов с n = 10¹⁸ м^–3.

7. Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, расположенного на 10kT выше уровня Ферми.

8. Определить как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от 300 до 1000 К.

9. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией E = 0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1 %.

10. Вычислить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов в медном проводнике, где энергия Ферми составляет 7 эВ.

11. Энергия Ферми в кристалле серебра составляет 5,5 эВ. Найти максимальную и среднюю скорости электронов проводимости при Т ≈ 0 К. При расчете принять эффективную массу электронов равной массе свободного электрона.

12. Найти максимальную и среднюю скорости теплового движения свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К, если концентрация электронов равна 8,5∙10¹⁸ м^–3.

13. Положению уровня Ферми для алюминия при Т ≈ 0 К соответствует энергия 11,7 эВ. Рассчитать число свободных электронов, приходящихся на один атом. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободного электрона.

14. Вычислите, какая часть электронов проводимости в металле при Т ≈ 0 К имеет кинетическую энергию, большую E_F/2.

15. Как изменится интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле, если объем кристалла уменьшить в 10 раз?

16. Вычислить удельное сопротивление проводника, имеющего плотность 970 кг/м³ и молекулярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряженностью 0,1 В/м составляет 5∙10^–4 м/с, а на каждый атом кристаллической решетки приходится один электрон.

17. В металлическом проводнике с площадью поперечного сечения 10^–2 мм² и сопротивлением 10 Ом концентрация свободных электронов равна 8,5∙10²⁸ м^–3. Определить среднюю скорость дрейфа электронов при напряжении 0,1 В.

18. К медной проволоке длиной 6 м и диаметром 0,56 мм приложено напряжение 0,1 В. Сколько электронов пройдет через поперечное сечение проводника за 10 с, если удельное сопротивление меди равно 0,017 мкОм∙м?

19. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T = 0 K. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.

20. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число  свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.

21. Удельная проводимость металла равна 6∙10³ (Ом∙м)^–1. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация n свободных электронов равна 10²³ м^–3. Среднюю скорость u хаотического движения электронов принять равной 10⁶ м/с.

22. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность металла? Каков характер этого изменения?

23. Чему равна сумма средних чисел заполнения свободными электронами в металле уровней с энергией большей и меньшей энергии Ферми на одну и ту же величину Δε.

24. Объем металла равен 1 см³. Вычислить интервал (в эВ) между соседними уровнями энергии свободных электронов для значений энергии Е, равных: а) 0,1 эВ, б) 1 эВ, в) 3 эВ, г) 5 эВ.

25. Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, определить среднюю кинетическую энергию свободных электронов при абсолютном нуле. Какая часть свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую среднюю энергию?

 

 

10. Фононы и теплоемкость

 

Теплоемкость твердых тел определяется энергией тепловых колебаний частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки. В классической теории эти частицы рассматриваются как независимые частицы, колеблющиеся с одинаковой частотой. Это приводит к независимости молярной теплоемкости от температуры и природы вещества – правилу Дюлонга и Пти:

С_v = 3R ≈ 25 Дж/(моль∙К).                   (10.1)

Однако экспериментально эта зависимость не подтверждается. Качественное и количественное согласие с экспериментом достигается, если рассматривать кристалл как N атомов, упруго связанных друг с другом и обладающих 3N степенями свободы. Тогда в кристалле могут существовать 3N типов простейших коллективных колебаний – мод с энергиями

,                          (10.2)

где n_i = 0,1,2…3N. Средняя энергия такого осциллятора

.                    (10.3)

Каждой моде можно сопоставить квазичастицу – фонон, обладающую соответствующей энергией и квазиимпульсом:

и ,              (10.4)

где v_зв – скорость звука в кристалле; в случае, когда скорости поперечных волн v_^ и продольных v_║ волн не равны, используют среднюю скорость. Фононы подчиняются статистике Максвелла – Больцмана.

Число фононов с частотами в интервале от ν до ν + dν 

.                     (10.5)

Среднее число фононов с энергией ε_i в кристалле

.                   (10.6)

Энергия кристаллической решетки объема V

,                  (10.7)

где ω_max – максимальная (дебаевская) частота колебаний, равная

,                            (10.8)

n – количество частиц в единице объема (концентрация). Для простых кубических решеток n = 1/a³; а – постоянная решетки.

Характеристическая температура Дебая

.                               (10.9)

Молярная изохорная теплоемкость кристаллической решетки

.                             (10.10)

При температурах T <<θ_D

.                      (10.11)

При температурах T >> θ_D

,                              (10.12)

где k – постоянная Больцмана. Если N = N_A, то

,                                (10.13)

где N_A – число Авогадро; R – газовая постоянная.

 

 

Примеры решения задач

 

1. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.

Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах T << θ_D (квантовая область, θ_D – характеристическая температура Дебая), пропорциональна кубу термодинамической температуры, , где C_v – молярная изохорная теплоемкость; R – газовая постоянная. При высоких температурах T >> θ_D (классическая область), теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти С = 3R = 25 Дж/(моль∙К). Поскольку при Т₁ = 4 К теплоемкость аргона С₁ = 0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 25 Дж/(моль∙К), выполняется закон Т³ Дебая, согласно которому  и . Отсюда C₂/C₁ = (T₂/T₁)³ или C₂ = C₁(T₂/T₁)³. Подставляя числовые данные, получим С₂ = 0,022 Дж/(моль∙К).

2. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фононов такой частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К?

Решение. Дебаевская температура θ_D = hν_max/k, где ν_max – максимальная частота колебаний кристаллической решетки; h – постоянная Планка; k – постоянная Больцмана. Отсюда найдем ν_max = kθ_D/h. Подставляя численные значения, получаем ν_max = 3,12∙10¹² Гц. Среднее число фононов с энергией ε_i: , где Т – термодинамическая температура кристалла. Энергия фонона, соответствующая частоте колебаний ν_max, равна ε_i = hν_max = kθ_D. Учитывая это, находим .

3. Одинаковые массы свинца ²⁰⁷Pb и кремния ²⁸Si охлаждают при помощи жидкого гелия (температура кипения при нормальном давлении равна 4,2 К) от температуры Т₁ = 20 К до Т₂ = 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны θ_D(Pb) = 95 K, θ_D(Si) = 645 K соответственно.

Решение. Так как начальная температура много меньше температур Дебая обоих веществ, то справедливо низкотемпературное приближение. В этой области температур энергии хватает только на возбуждение акустических фононов. Поэтому в выражении для энергии кристалла верхний предел в интеграле можно заменить на ∞

,

где v_зв – скорость звука в кристалле, k – постоянная Больцмана. Теплота, отбираемая при охлаждении у тел, равна . Используя , где n – количество атомов в единице объема (n = 1/a³; а – постоянная решетки) и θ_D = ћω_D/k, это выражение можно записать в виде . Так как масса кристалла M = NA, где А – атомная масса, то . Подставляя численные значения, получим m_Pb/m_Si ≈ 42.

 

 

---

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1476; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!