Математическое моделирование, математическое программирование, теория игр, численные методы
Регрессионная модель. Однофакторная модель (построение модели, определение дисперсии, проверка адекватности)
Регрессионные модели применяются для прогнозирования экономических показателей предприятия или анализа возможного изменения показателей.
Модели могут быть однофакторные и многофакторные, линейные и нелинейные.
На основании данных статистики выбирается подходящая модель, выражающая тренд изменения исследуемого показателя.
Коэффициенты регрессионной модели определяются методом наименьших квадратов, минимизируется отклонение результатов вычисленных по модели от данных выборки статистического ряда.
Однофакторная регрессионная модель:
. (2.1.1)
Для определения коэффициентов регрессии методом МНК строится нормальная система уравнений
(2.1.2)
где 
– значение фактора 
, от которого зависит исследуемый параметр 
;
– значение параметра по результатам выборки;
– количество элементов ряда.
Решение системы дает коэффициенты регрессии 
и 
. Решение можно выполнить методом Крамера.
Определитель системы
.
Другие определители
, 
.
Отсюда решение системы
; 
. (2.1.3)
Задача 2.2.1.1. Установить, как изменяется удельный расход материала в зависимости от выпуска продукции на предприятии. Приведены данные статистики за прошлые периоды.
|
|
|
| Расход материала (кг) на 1 тыс. шт. | Выпуск продукции (тыс. шт.) | |
| 1 | 5,30 | 100 |
| 2 | 5,25 | 120 |
| 3 | 5,20 | 140 |
| 4 | 5,15 | 160 |
| 5 | 5,0 | 180 |
| 6 | 5,1 | 200 |
Для расчета коэффициентов регрессии удобно составить таблицу.
Таблица 1.1
| № |
|
|
| 
| 
| 
|
| 1 2 3 4 5 6 | 5,3 5,25 5,20 5,15 5,0 5,1 | 100 120 140 160 180 200 | 530 630 728 824 900 1020 | 10000 14400 19600 25600 32400 40000 | 0,14 0,09 0,04 -0,01 -0,16 -0,06 | 0,0196 0,008 0,0016 0,0001 0,0256 0,0036 |
| Cумма | 31 | 900 | 4632 | 142000 | 0,0586 |
Среднее значение элементов выборки
. (2.1.4)
Дисперсия статистического ряда
. (2.1.5)
Расчет определителей нормального уравнения
;
;
;
; 
.
Уравнение регрессии примет вид
.
Для проверки адекватности модели возможен метод Фишера.
Вычисляется вначале остаточная сумма квадратов, здесь 
– значение , вычисленное по уравнению регрессии.
| № |
|
|
| 
|
| 1 | 5,3 | 100 | 5,28 | 0,0004 |
| 2 | 5,25 | 120 | 5,23 | 0,0004 |
| 3 | 5,20 | 140 | 5,18 | 0,0004 |
| 4 | 5,15 | 160 | 5,13 | 0,0004 |
| 5 | 5,1 | 180 | 5,08 | 0,0004 |
| 6 | 5,0 | 200 | 5,03 | 0,0009 |
| 0,0029 |
Остаточная сумма квадратов получит значение
. (2.1.6)
Коэффициент детерминации
|
|
|
. (2.1.7)
Наблюдаемое значение критерия Фишера
, (2.1.8)
здесь
– количество факторов;
– количество элементов выборки.
Табличный критерий Фишера при 
, 
имеет значение 
, что указывает на адекватность модели, т.к. выполняется неравенство 
.
Двойственная задача линейного программирования
Двойственные переменные и их экономический смысл
Стандартная задача линейного программирования в векторной форме имеет вид
, (2.2.1)
, (2.2.2)
.
В развернутой форме
, (2.2.3)
(2.2.4)
Подобные задачи применяются в составлении производственной программы предприятия, ограничения можно отнести к расходу ресурсов, функция цели содержит стоимость продукции или прибыль.
Для подобной задачи можно составить двойственную
. (2.2.5)
, 
(2.2.6)
.
Такая задача интерпретируется как задача минимизации стоимости ресурсов. Здесь выступает как «теневая цена» ресурса, т.е. цена ресурса для технологии данного предприятия. Л.В. Канторовичем они названы «объективно-обусловленными оценками» («ООО»).
|
|
|
Задача 2.2.2.1. Для изготовления 3 видов продукции используется 2 виды сырья. Составить модель расчета плана, рассчитать оптимальный план из условия максимизации прибыли. Получить решение двойственной задачи.
Таблица 2.1
| Сырье | Нормы расхода в кг на единицу продукции | Запасы сырья на складах | ||
| 
| 
| ||
| 1 | 1 | 3 | 5 | 9 |
| 2 | 2 | 2 | 1 | 5 |
| Прибыль от продукции | 3 | 1 | 2 | |
Решение.
Предлагается решение симплекс-методом последовательного улучшения плана.
Модель имеет вид
Канонический вид задачи для ограничений
Последовательность симплекс таблиц приводится ниже.
Опорная таблица:
Таблица 2.2
| 3 | 1 | 2 | 0 | 0 | |||
| Базис | Ресурсы | |||||||
| № |
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 |
| 0 | 9 | 1 | 3 | 5 | 1 | 0 |
| 2 |
| 0 | 5 | 2 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 
| 0 | –3 | –1 | –2 | 0 | 0 |
Симплекс-преобразование в методе последовательного улучшения плана имеет вид
,
где 
– разрешающий элемент;
|
|
|
– элемент разрешающего столбца;
– элемент разрешающей строки;
– произвольный элемент.
После ввода в базисе , получим
Таблица 2.3
|
| 0 | 1 | 2 | 0 | 3 | |||
| № |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 0 | 13/2 | –1/2 | 2 | 9/2 | 1 | 0 |
| 2 |
| 3 | 5/2 | 1/2 | 1 | 1/2 | 0 | 1 |
|
|
| 15/2 | 3/2 | 2 | –1/2 |
В базисе далее заменяется на
Таблица 2.4
|
| ||||||||
| № |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 2 | 13/9 | –1/9 | 4/9 | 2/9 | 1 | 0 |
| 2 |
| 3 | 16/9 | 5/9 | 7/9 | –1/9 | 0 | 1 |
|
|
|
| 74/9 | 13/9 | 20/9 | 1/9 |
Получили оптимальный план 
; 
.
По данной таблице можно найти решение двойственной задачи (в колонке векторов и )
2.2.3 Производственная функция Кобба-Дугласа.
Коэффициенты эластичности
Функция Кобба–Дугласа применяется для прогнозирования объемов производства, она связывает выпуск продукции и затраты.
Функция имеет вид
, (2.3.1)
где 
– объем производства;
– индекс производственных фондов (основные капиталовложения);
– индекс труда (рабочая сила в сфере материального производства);
– фактор, связанный с техническим прогрессом.
Важный экономический показатель для производственной функции является коэффициент эластичности
, (2.3.2)
где – объем производства;
– затраты 
-го фактора для производства продукции.
Коэффициент эластичности безразмерен, показывает на сколько процентов изменяется выпуск продукции при изменении на 1% интенсивности затрат соответствующего фактора.
Функция является нелинейной многофакторной регрессионной моделью.
Можно показать, что коэффициенты регрессии 
и 
являются коэффициентами эластичности по капиталам и труду.
Задача 2.2.3.1. В таблице приведены данные по объемам выпуска продукции , затрат капитала и труда в некоторой отрасли за 10 лет.
Таблица 3.1
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | |
| 50,0 | 58,0 | 37,0 | 110,0 | 130,0 | 120,0 | 150,0 | 146,5 | 310,0 |
| 2 | 5,2 | 2 | 6,6 | 2,5 | 10,4 | 5,6 | 10,4 | 13,0 |
|
| 2 | 2 | 2 | 4 | 6 | 2 | 6 | 6 | 6 |
Указания:
Использовать функцию Кобба–Дугласа в виде
.
Для определения коэффициентов регрессии 
, и с помощью логарифмирования перейти к линейной модели.
С помощью метода МНК (см. 2.2.1) построить систему нормальных уравнений и решить ее относительно , и .
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 744; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!