Замена переменных в кратных интегралах

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 15Следующая ⇒

Пусть – области в пространстве , – гладкое отображение. Через и будем обозначать точки в и соответственно. Возможна другая (покоординатная) запись.

…

, где – дифференцируемы.

Рассмотрим Якобиан отображения , определяемый по формуле

Его можно представить как коэффициент искажения объема.

Теорема (о замене переменных).Пусть , – измеримые множества. – взаимно однозначно на внутренних точках множества . Функции непрерывно дифференцируемы, а функция интегрируема. Тогда существует следующий интеграл и выполняется равенство

Полярные координаты

Введем на плоскости полярную систему координат, согласованную с заданной декартовой ( – полярная ось, – расстояние от точки до полюса , – угол между радиусом-вектором точки и полярной осью).

Данная система уравнений осуществляет преобразование полярных координат в декартовы. Правые части – непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

Если ; , то .

Сферические координаты

Пусть заданы полярные координаты в плоскости , – угол между радиусом-вектором точки и плоскостью .

Если , то

Цилиндрические координаты

В плоскости вводим полярные координаты . Тогда координаты называются цилиндрическими.

Эти равенства связывают цилиндрические координаты с декартовыми координатами. Здесь – расстояние от проекции точки на плоскость до начала координат декартовой системы, а – угол между радиусом-вектором указанной проекции и осью . Якобиан преобразования легко вычисляется.

Если ; то

Пример 2.1.11.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если – I четверть круга .

Решение.

Полагая , имеем

Пример 2.1.11.2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: , .

Решение.

Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью и проецируется в круг плоскости . Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид . Объем тела равен

Пример 2.1.11.3.Вычислить , если – шар .

Решение.

Перейдем к сферическим координатам. В области координаты , и изменяются так: , , . Следовательно,

2.1.12 Потенциальные векторные поля.
Критерии потенциального векторного поля

Потенциальные векторные поля

Пусть дана область в пространстве , и – векторное поле.

Определение. Векторное поле называется потенциальным в области , если существует функция такая, что

, , ,

при этом называют потенциалом векторного поля .

Теорема (характеризация потенциальных полей). Рассмотрим векторное поле в некоторой области . Следующие три условия эквивалентны:

1) Поле потенциально.

2) Интеграл от поля вдоль ориентированной кривой не зависит от начальной и конечной точек этой кривой.

3) Интеграл от векторного поля по любой замкнутой кривой равен нулю.

Пример 2.1.12.1. Показать, что поле является потенциальным, и найти потенциал этого поля.

Решение.

Данное векторное поле определено на всей плоскости , являющейся односвязной областью. Покажем, что , т.е. что поле безвихревое, а следовательно, и потенциальное. Действительно, так как

, , , то

Потенциал вычислим по формуле

т.е. .

Здесь в качестве начальной точки взята точка .

Формула Грина

Теорема (формула Грина). Пусть в области задано гладкое векторное поле , также задано множество в с кусочно-гладкой границей, которая правильно ориентирована, тогда справедлива следующая формула: