Необходимые и достаточные условия локальных экстремумов
Экстремумы функций многих переменных
Рассмотрим открытое множество 
и функцию 
Определение.Точка 
называется точкой локального максимума (строгого локального максимума), если существует такое 
, что для всех векторов 
, где 
, выполняется неравенство:
Определение.Точка называется точкой локального минимума (строгого локального минимума), если существует такое , что для всех векторов , где , выполняется неравенство:
Определение.Точкой (локального) экстремума называется либо точка максимума, либо точка минимума.
Теорема.Пусть точка 
– точка локального экстремума функции 
, причем в этой точке существует дифференциал, тогда этот дифференциал равен нулю, то есть 
.
Определение.Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, называются критическими (стационарные).
Достаточные условия строгого экстремума
Теорема.Пусть точка – критическая точка функции . Допустим, что 
положительно (отрицательно) определен, тогда функция в точке достигает строгого локального минимума (максимума).
Пример 2.1.9.1.Найти экстремум функции 
.
Решение.
Находим частные производные первого порядка:
; 
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
откуда 
, 
, 
.
Находим значения частных производных второго порядка в точке 
:
; 
; 
.
Составляем дискриминант 
; 
(или 
). Следовательно, в точке 
заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке 
.
|
|
|
Пример 2.1.9.2.Найти экстремум функции
.
Решение.
Найдем частные производные первого порядка:
; 
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
или 
Отсюда 
, 
; стационарная точка 
.
Найдем значения вторых производных в точке :
.
Тогда поскольку 
, 
(или 
), то в точке функция имеет максимум: 
.
2.1.10 Задачи на относительный экстремум.
Правило множителей Лагранжа
Постановка задачи на относительный экстремум
Пусть и заданы функции 
, где 
. Рассмотрим задачу нахождения экстремальных значений функции 
при условии, что 
, то есть мы учитываем только точки, которые принадлежат множеству 
.
Теорема (правило множителей Лагранжа).Пусть в условиях, приведенных выше, функция 
достигает своего экстремума при условии, что 
. тогда существует ненулевой вектор 
такой, что функция
,
называемая функцией Лагранжа, в точке x имеет градиент, равный нулю:
.
Теорема.Достаточное условие относительного локального экстремума. Пусть является критической точкой для функции Лагранжа в задаче на относительный экстремум, то есть 
и 
Рассмотрим 
– множество приращений, которые удовлетворяют уравнениям
|
|
|
.
Если второй дифференциал функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определимым на множестве , то точка является точкой локального минимума (максимума) в задаче на относительный экстремум.
Пример 2.1.10.1.Найти экстремум функции 
при условии, что и 
связаны уравнением 
.
Решение.
Рассмотрим функцию Лагранжа 
. Имеем 
, 
. Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)
Находим 
, 
, 
. Нетрудно видеть, что в точке 
функция достигает наибольшего значения 
.
Пример 2.1.10.2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в круге 
.
Решение.
Здесь рассматривается область 
, ограниченная окружностью , включая и точки окружности.
Найдем стационарные точки данной функции; имеем 
, 
; в силу необходимых условий экстремума находим , 
.
Нетрудно видеть, что в точке 
функция имеет наименьшее значение 
, причем указанная точка является внутренней точкой области .
Исследуем на условный экстремум функцию , если и связаны соотношением . Рассмотрим функцию 
. Находим частные производные 
, 
. Для определения , и 
получаем систему уравнений
Эта система имеет два решения: 
, 
и 
; 
, 
и 
. Значит, наибольшее значение функция принимает в точке 
. Итак, , 
.
|
|
|
2.1.11 Теорема о замене переменных в кратных интегралах.
Полярные, цилиндрические и сферические системы координат.
Геометрический смысл Якобиана
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 358; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!