Математическое моделирование, математическое программирование, теория игр, численные методы

1. Регрессионная модель. Однофакторная модель (построение модели, определение дисперсии, проверка адекватности).

2. Двойственная задача линейного программирования.

3. Производственная функция Кобба-Дугласа. Коэффициенты эластичности.

4. Модели расчета годовой производственной программы. Критерии в моделях.

5. Модель оптимальной загрузки оборудования для выпуска комплектной продукции. Виды комплектов.

6. Математическая обработка результатов опытов в планировании эксперимента. Полный факторный эксперимент. Свойства матрицы планирования.

7. Управление запасами материалов. Типы моделей. Простейшая модель Уилсона.

8. Сетевые графики. Критический путь. Оптимизация графика по времени в зависимости от вложенных средств.

9. Сетевые графики. Вероятностная сеть. Оценка времени выполнения работ.

10. Динамическое программирование. Распределение ресурсов между предприятиями головной фирмы.

11. Задачи раскроя материалов и составления смеси. Область применения.

12. Транспортная задача. Закрытая транспортная задача.

13. Открытая транспортная задача.

14. Матричные игры. Игры и .

15. Матричные игры и линейное программирование.

16. Методы решения нелинейных уравнений.

17. Методы решения систем линейных уравнений.

18. Нахождение наибольшего по модулю собственного числа матрицы.

19. Полиномиальное интерполирование.

20. Метод наименьших квадратов.

21. Численное интегрирование.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВОПРОСАМ ПРОГРАММЫ

Математический анализ

Теоремы Вейерштрасса

Функции, непрерывные на отрезке

Рассмотрим числовую функцию , заданную на отрезке . Будем говорить, что она непрерывна на этом отрезке, если она непрерывна в каждой точке из области определения (на концах отрезка требуется односторонняя непрерывность).

Отметим некоторые специфические свойства непрерывных функций на отрезке.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на нем, т.е. существуют точки и на отрезке такие, что для любого справедливо неравенство .

Пример 2.1.1.1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение.

Так как , то критическими точками функции являются и . Сравниваем значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного отрезка:

; ; ; .

Отсюда наименьшее значение функции достигается в точке (в точке минимума), а наибольшее достигается в точке (на правом конце отрезка).

Теоремы Роля, Лагранжа

Теорема Ролля.Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале и принимает равные значения на его концах . Тогда на интервале существует, по крайней мере, одна точка , в которой производная зануляется .

Теорема Лагранжа.Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Действительно, есть тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки и , а – тангенс угла наклона касательной в точке , следовательно, рассматриваемые секущая и касательная параллельны.

Пример 2.1.2.1.Показать, что функция на отрезках и удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения .

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений ; кроме того, . Следовательно, теорема Ролля применима на отрезках и . Для нахождения числа составляем уравнение: . Отсюда причем ; .

Пример 2.1.2.2. Проверить выполнение теоремы Лагранжа для функции на отрезке и найти соответствующее промежуточное значение .

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формуле Лагранжа имеем, т. е. .

Следовательно, и ; подходит только значение , для которого справедливо неравенство .

Теоремы Коши, Ферма

Теорема Коши.Пусть функции и непрерывны на отрезке , имеют производные и на интервале одновременно не обращающиеся в , . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .

Теорема Ферма.Пусть функция достигает в точке локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная, тогда .

Пример 2.1.3.1. Для функции и проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке и найти .

Решение.

Проверим выполнение условий теоремы Коши. Функции и непрерывны на отрезке и при имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем .

Тогда по теореме Коши

или . Отсюда , где .

Пример 2.1.3.2. Для функции проверить выполнение условий теоремы Ферма.

Решение.

Очевидно, функция имеет минимум в точке . Так как , то , как и утверждает теорема Ферма.

Формула Тейлора

Основным свойством дифференциального исчисления является формула Тейлора, позволяющая приближать функции специальными многочленами в окрестности некоторой точки. Мы рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (глобальная формула Тейлора) и с остаточным членом в форме Пеано (локальная формула Тейлора).

Пусть функция в некотором интервале имеет производных, тогда для любой точки можно написать многочлен Тейлора

Разность называется остаточным членом формулы Тейлора, это выражение может быть преобразовано различными способами, которые приводят к разным формам остаточного члена.

Теорема (остаточный член в форме Пеано).Пусть функция в некотором интервале имеет непрерывных производных, тогда для любой точки при имеет место равенство:

Теорема (остаточный член в форме Лагранжа).Пусть функция в некотором интервале , содержащем точку , имеет производных, а во всех точках этого интервала, кроме, быть может, точки , имеет -ю производную; тогда для любого , существует , находящееся между и , для которой выполнено равенство:

Заметим, что при последняя теорема превращается в теорему Лагранжа.

Формулу Тейлора в точке обычно называют формулой Маклорена. В этом случае удобно положить , т.е. .

Пример 2.1.4.1. Разложить по формуле Маклорена функцию .

Решение.

…

Тогда , и так как , то , .

Пример 2.1.4.2. Функцию разложить по степеням бинома до члена, содержащего .

Решение.

для всех , . Следовательно,

, где , .

Длина гладкой кривой

Рассмотрим некоторую функцию . Для фиксированного значения – есть некоторая точка в . Такую функцию называют параметрическим представлением кривой в пространстве (роль параметра играет переменная ). Кривая называется непрерывной (соответственно гладкой), если все функции являются непрерывными (соответственно непрерывно дифференцируемыми). Пусть – некоторое разбиение отрезка ; рассмотрим точки и ломаную , которая получается последовательным соединением точек и прямолинейными отрезками. Такие ломаные называют вписанными в кривую . Пусть – длина ломаной .

Кривая называется спрямляемой, если конечна величина , где верхняя грань берется по всем вписанным в ломаным. За значение длины кривой как раз и принимают указанную величину.

Оказывается, что для гладких кривых существует достаточно простой способ вычисления длинны .

Теорема: Гладкая кривая является спрямляемой, причем для ее длины справедлива следующая формула:

Пример 2.1.5.1. Найти длину астроиды .

Решение.

Дифференцируя уравнение астроиды, получим , отсюда .

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

Отсюда

Пример 2.1.5.2. Найти длину одной арки циклоиды

Решение.

Имеем и . Поэтому

Пределы интегрирования и соответствуют крайними точкам арки циклоиды.

Пример 2.1.5.3. Найти всю длину кардиоиды .

Решение.

В силу симметрии кривой найдем сначала половину длины. Поскольку , получим:

Отсюда .

Объем тела вращения

Пусть – кривая, описываемая в декартовой системе координат на плоскости непрерывной неотрицательной функцией . Рассмотрим формулу для вычисления – объема тела вращения, ограниченного плоскостями и и поверхностью вращения кривой вокруг оси в трехмерном пространстве.