НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функция распределения вероятностей, и плотность вероятности
Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события 
(где X — значение непрерывной случайной величины, а х — произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:
.
Производная от функции распределения вероятностей называется плотностью распределения вероятности
.
Функция распределения вероятностей выражается через плотность в виде интеграла:
Вероятность попадания случайной величины в интервал [x1 х2] равна
или
Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
,
где f(x) — плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение интеграла
D(X) = М(Х - М(Х))2.
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
D(X) = М(Х2) - (М(Х))2
Модой Мо(Х) непрерывной случайной величины X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, при котором выполняется равенство
Р(Х < Me) =Р(Х > Me).
181. Известно, что число посетителей магазина (в тыс. человек) в день является случайной величиной Х с функцией распределения
|
|
|
.
a. Найти плотность распределения X
b. построить график плотности распределения,
c. Найти вероятность того, что за день магазин посетит от 1 до 2 тысяч человек;
d. Найти вероятность того, что магазин за смену посетит меньше тысячи человек;
e. Найти вероятность того, что число посетителей за смену превысит 2 тысячи человек.
f. Найти математическое ожидание МХ;
g. Найти дисперсию DX.
182. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Пусть X – время ожидания автобуса пассажиром.
1) Найти функцию распределения X,
2) Найти плотность распределения X,
3) построить графики функции распределения и плотности распределения,
4) Найти вероятность того, что 
;
5) Найти вероятность того, что 
;
6) Найти математическое ожидание МХ;
7) Найти дисперсию DX.
183. Известно, что курс ценной бумаги может измениться за день на случайную величину X с плотность распределения
.
a. Найти функцию распределения X
b. построить графики функции распределения и плотности распределения,
c. Найти вероятность того, что курс ценной бумаги повысится;
d. Найти вероятность того, что курс ценной бумаги понизится;
e. Найти математическое ожидание МХ;
f. Найти дисперсию DX.
|
|
|
184. Известно, что время работы некоторого прибора (в годах) является случайной величиной Х с функцией распределения
.
a. Найти плотность распределения X
b. построить графики функции распределения и плотности распределения,
c. Найти вероятность того, что время работы прибора будет от 1 до 3 лет;
d. Найти вероятность того, что прибор проработает больше 5 лет;
e. Найти вероятность того, что прибор проработает меньше 3 лет;
185. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
Найти
1) плотность вероятности f(x) и построить ее график
2) вероятность попадания случайной величины в интервалы [1;2,5], (2,5;3,5).
3) математическое ожидание МХ
4) дисперию DX
186. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
Найти:
1) плотность вероятности f(x) и построить ее график
2) математическое ожидание М(X);
3) дисперсию D(X);
4) P(0,6<X<7)
187. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X
Найти
1) функцию распределения F(x) и построить ее график.
2) математическое ожидание М(X);
3) дисперсию D(X);
4) P(0,5<X<1,5)
188. Случайная величина X имеет плотность распределения вероятности
Найти
1) функцию распределения F(x) и построить ее график.
2) математическое ожидание М(X);
|
|
|
3) дисперсию D(X);
4) P(1,5<X<3,5)
189. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = х/2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
190. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = х/8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание.
191. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности f(x)=C в интервале (0;4). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти
А)значение константы С,
Б)математическое ожидание случайной величины
В) дисперсию случайной величины
Г) вероятность попадания в интервал [2;5].
Д) на чертеже изобразить график функции плотности вероятности и объяснить геометрический смысл найденной вероятности.
192. Случайная величина X задана плотностью вероятнос- f(x) = С(х2 + 2х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f(x)=0. Найти параметр С и MX.
193. Плотность вероятности случайной величины Xимеет вид:
Необходимо:
а) найти параметр a;
б) вычислить математическое ожидание;
в) найти вероятность P(1<X<5)
г) построить графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины X.
194. Задана функция 
Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X. Найти F(x), 
M(X), D(X). Построить график F(x).
|
|
|
195. Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
Найти:
а) значение постоянной а;
б) MX и DX;
в) вероятность P(0 <X < 2);
г) функцию распределения F(x), построить ее график.
196. Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
Найти:
а) значение постоянной b;
б) MX и DX;
в) вероятность P(0 <X < 3);
г) функцию распределения F(x), построить ее график.
197. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:
Найти:
а) параметр а;
б) математическое ожидание и дисперсию;
в) P(0<X<3)
198. Ежедневная прибыль фирмы «Ой-ой-ой» является случайной величиной с плотностью вероятностей вида
.
Найти параметр 
, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли. Вычислить вероятность того, что случайная величина попадает в промежуток 
. Построить график 
, показать на нем 
.
199. Случайная величина X имеет плотность вероятности
Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.график.
200. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде
. Найти параметр С.
201. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в интервале (0; π /4) функцией f(x) = Сsin 4х. Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр С.
202. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в интервале (-π/2; π /2) функцией f(x) = С соs 5 х. Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр С и определигь вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; π /4).
203. Случайная величина X задана плотностью вероятности 
— на интервале (3; 5). Вне этого интервала f(x)=0.
Найти моду, медиану и математическое ожидание.
204. Случайная величина X задана плотностью вероятности — на интервале (2; 4). Вне этого интервала f(x)=0.
Найти моду, медиану и математическое ожидание.
205. Случайная величина X имеет плотность вероятности
Найти дисперсию случайной величины X.
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а, b], если ее плотность вероятности имеет вид
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями
, 
206. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1;6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
207. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0;4]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
208. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, чго случайная величина X — время ожидания автобуса — распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание) и среднее квадратичное отклонение случайной величины.
209. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин — случайная величина X — распределена равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.
Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид
где a — математическое ожидание;
— среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится по формуле
, где Ф(x)= 
— функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений x можно найти в справочниках.
210. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 5, дисперсия равна 9. Написать выражение для плотности вероятности. Построить схематично график плотности.
211. Найти M(4X– 3) D(4X– 3), если плотность случайной величины Xимеет вид:
212. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
213. Случайная величина нормально распределена. Известно, что MX=-2, DX=1 Найти:
а) плотность вероятности случайной величины и ее значения в точках x=-1, x=0, x=2
б) вероятности P(-2<X<0), P(X<1), P(X>-1,5).
214. Уровень воды в реке – это нормально распределенная случайная величина со средним значением 2,5 м и стандартным отклонением 20 см. Оценить вероятность того, что в наудачу выбранный день:
а) уровень превысит 3 м; б) окажется в пределах от 2,2 м до 2,8 м.
215. Суточное потребление электроэнергии в населенном пункте является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2000 кВт/ч и дисперсией 20000. Найти вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в населенном пункте будет от 1500 до 2500 кВт/ч
216. Месячная прибыль компании Мобильные телефоны Средиземья (МТС) является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 1 000 в валюте Средиземья и дисперсией 250 000. Чему равна вероятность того, что прибыль компании окажется: а) в пределах от 500 до 2 000?; б) более 1 250?
Построить график плотности данного нормального распределения и указать на графике область, соответствующую вероятности из пункта а)
217. Доход фирмы за месяц представляется нормально распределенной случайной величиной со средним значением 3 млн. долл. и средним квадратическим отклонением 0.5 млн. долл. . Найдите вероятность того, что в данном месяце доход фирмы будет более 4 млн. долл. Напишите формулу плотности распределения этой случайной величины, нарисуйте ее график и покажите на нем вычисленную вероятность.
218. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р — 0,9972 попадет случайная величина.
219. Случайная величинах распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.
220. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятносгью 0,98.
221. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) более 60 у.е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между 42 и 54 у.е. за акцию.
222. Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним квадратичным отклонением 0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется:
1) не ниже 15,50 руб.;
2) не выше 15,00 руб.;
3) между 15,10 руб. и 15,40 руб.;
4) между 15,05 руб. и 15,10 руб.
223. Имеется инвестиционный портфель, который стоит из трех видов ценных бумаг. Доли вложения капитала в эти ценные бумаги относятся как 
, причем 
. Известно, что нормы прибыли по каждому виду ценных бумаг есть нормально распределенные случайные величины, причем их можно считать независимыми. Средние нормы прибыли по каждому виду ценных бумаг таковы (в процентах): 10, 8, 12; их абсолютные уровни риска (средние квадратические отклонения) таковы (процентах): 3, 1, 4. Найти среднюю норму прибыли всего портфеля и его уровень риска. Найти вероятность того, что норма прибыли по всему портфелю окажется более 12%.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!