Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события
События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.
Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается Р(В/А).
Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:
Р{АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).
Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.
Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Веро-ятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления-.
|
|
|
Р(А + В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.
Пусть события А1, А2….. Ап независимы и известны вероятности этих событий:
Р(А1) = р1, Р(Аг) = р2, ..., Р(Ап) = рп.
Обозначив вероятности противоположных событий
Р(А1) = q1 Р(А2) = q2, ..., Р(Ап) = qn,
найдем вероятность того, что ни одно из событий А1, А2, Ап в опыте не наступит:
Р(В) = q1q2… qn.
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного события
Р(В) = 1 - Р(В) = 1- q1q2… qn.
Задачи
41. Вероятности событий A и B равны соответственно 0,3 и 0,4. Чему равна вероятность их суммы, если вероятность их произведения 0,1?
42. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три — по математическому анализу и четыре — по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре?
|
|
|
43. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?
44. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, а второй с вероятностью 0,8. Каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Какова вероятность того, что
А) оба попали
Б) оба промохнулись
В) первый промахнулся, а второй попал
Г) второй промахнулся, а первый попал
Д) один из стрелков промахнулся
Е) хотя бы один попал
45. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,5. Какова вероятность того, что
А) первое и второе орудия промахнулись, а третье попало?
Б) все орудия попали в цель
В) все орудия промахнулись
Г) попало ровно одно орудие
Д) попало ровно два орудия
Е) попало хотя бы одно орудие
46. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта в каталоге, равна 0.04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.06. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что
А) потребитель увидит обе рекламы
|
|
|
Б) потребитель увидит только рекламу в каталоге
В) потребитель увидит рекламу только на стенде
В) потребитель не увидит рекламы этого товара
Г) потребитель увидит хотя бы одну рекламу
47. Прибор выходит из строя, если выходит из строя любой из трех его узлов, работающих независимо. Вероятности выхода из строя в течение года соответственно узлов равны 0,3; 0,2; 0,25. Найти вероятность того, что прибор в течение года не выйдет из строя.
48. На полке стоят одинаковые по внешнему виду книги: 2 по математике и 3 по физике. Студент последовательно просматривает книги до тех пор, пока не найдет книгу по математике. Какова вероятность того, что ему придется просмотреть 4 книги?
49. Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель. Найти вероятность того, что охотник: а) попадет в дичь при третьем выстреле; б) произведет все три выстрела.
50. В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта — 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из третьего пункта.
51. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9.
|
|
|
а) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?
б) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?
52. Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?
53. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.
54. Среди 20 электролампочек 3 нестандартные. Одновременно берут 3 лампочки. Найти вероятность того, что не менее двух лампочек будут стандартными.
55. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 4 новые электролампочки. Каждая электролампочка в течение года может перегореть с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что в течение года из числа включенных в начале года придется заменить новыми: а) не менее 3 ламп; б) не более 3 ламп.
56. В магазине имеются 10 женских и б мужских шуб. Для анализа качества отобрали три шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб окажутся:
а) только женские шубы;
б) только мужские или только женские шубы.
57. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но совместными.
58. В вазе стоят 3 розы и 7 гвоздик. Выбирается случайным образом 3 цветка. Найти вероятность того, что выбранными окажутся: а) все розы; б) не менее 2 гвоздик.
59. Какова вероятность хотя бы какого-нибудь выигрыша в лотерее «Спортлото 5 из 36»?
60. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх учебниках. Вероятность того, что формула содержится в первом учебнике 0,4, во втором – 0,7, в третьем – 0,6. Найти вероятность того, что:
а) формула содержится во всех учебнике;
б) формула содержится только в двух учебниках;
г) формулы нет ни в одном из учебников.
д) формула содержится хотя бы в одном учебнике;
61. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А, В и С. В течение следующего года надежность первой компании оценивается экспертами в 99%, второй – в 98%, третьей - 97%. Чему равна вероятность того, что
а) все три компании станут банкротами?
Б) ни одна компания не обонкротится
В) обанкротится только компания А
Г) обанкротятся компания А и компания С
в) только одна компания в течение следующего года станет банкротом
г) две компании обанкротятся
62. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два "независимых" контракта, каждый из которых действует два года и принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что каждый из контрактов за два года не «лопнет», равна 0.8.
1) Какова вероятность того, через два года по истечении срока действия этих контрактов предприниматель понесет убыток?
2) Какова вероятность того, через два года по истечении срока действия этих контрактов предприниматель получит прибыль?
3) Какова вероятность того, через два года по истечении срока действия этих контрактов, предприниматель, по меньшей мере, "ничего не потеряет"?
63. Вероятность преждевременного перегорания электролампы равна 0,1. Какова вероятность того, что из 9 ламп хотя бы одна перегорит преждевременно?
64. Вероятность улучшения спортсменом личного достижения по прыжкам в длину равна 0,4. Чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать три раза.
65. В зоопарке два страуса из 6 имеют рост более 2,5 м. На выездную выставку случайным образом выбирают трех страусов. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один с ростом более 2,5 м?
66. В районе имеется двенадцать заводов, из которых три нерентабельных. На проверку случайным образом отобрано два завода. Найти вероятность того, что среди них:
а) один нерентабельный; б) хотя бы один рентабельный.
67. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго — 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.
68. Предположим, что вероятность выловить рыбу при одной поклевке равна 0,7. Какова вероятность того, что рыбак поймает хотя бы одну рыбу, если у него четыре поклевки?
69. Студент в сессию должен сдать 3 экзамена, причем известно, что положительную оценку он может получить за них с вероятностями 
. Предполагая, что различные экзамены представляют собой независимые испытания найти вероятности того, что студент: а) не сдаст ни одного экзамена; б) студент сдаст ровно два экзамена; в) студент сдаст хотя бы один экзамен.
70. В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа качества отобрали три шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб окажутся:
а) только женские шубы;
б) только мужские или только женские шубы.
71. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но совместными.
72. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.
73. Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; 0,7 для второго и 0,5 для третьего. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
74. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.
75. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А, В и С. В течение следующего года надежность первой компании оценивается экспертами в 99%, второй – в 98%, третьей - 97%. Чему равна вероятность того, что наступит банкротство хотя бы одной компании?
76. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии - 0.1, на втором - 0.2, на третьем – 0.25. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
77. В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 4 изделий некачественных. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделия будут:
а) качественными;
б) хотя бы один из них будет качественным;
в) ни одного качественного изделия.
Формулы Бернулли и Пуассона
Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно т раз события А в серии из п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:
В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А менее т раз (X < т), более т раз (X > т), не менее т раз (X > т), не более т раз (X < т). В этих случаях могут быть использованы формулы
При больших п и малых р вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона
78. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней:
а) одного мальчика;
б) двух мальчиков.
В) четырех мальчиков
Г) четырех девочек
79. Работают четыре магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ
А) в двух магазинах.
Б) в трех магазинах
В) в четырех магазинах
80. Студент приобрел пять лотерейных билетов. Вероятность выигрыша по одному билету составляет 0,2. Найти вероятность того, что студент выиграет:
а) по трем лотерейным билетам;
б) не менее чем по трем билетам;
в) хотя бы по одному билету.
г) Определить наивероятнейшее число выигрышных билетов.
81. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:
а) не менее чем двум покупателям;
б) не более чем трем покупателям;
в) всем четырем покупателям.
82. Каждый из пяти лифтов в высотном доме в течение месяца работает нормально с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что в течение месяца будут работать нормально:
а) 3 лифта; б) более 3 лифтов.
83. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:
а) три договора;
б) менее двух договоров.
В) ни одного договора
Г) все 10 договоров
84. Фирма снабжает своей продукцией пять магазинов. От каждого магазина может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0.4 независимо от заявок других магазинов.
1) Какова вероятность того, что поступит ровно две заявки?
2) Какова вероятность того, что поступит не более двух заявок?
3) Какова вероятность, что количество поступивших заявок будет лежать в пределах от двух до четырех?
4) Какова вероятность, что не поступит ни одной заявки?
5) Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения именно такого числа заявок?
85. Банк имеет семь отделений. Ежедневно с вероятностью 0,3 каждое отделение, независимо от других, может заказать на следующий день крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-президентов банка знакомится с посту- пившими заявками. Найти вероятности следующих событий:
1) поступили ровно три заявки;
2) поступила хотя бы одна заявка;
3) среди поступивших двух заявок есть заявка от первого отделения;
4) поступило не более двух заявок;
5) поступило от 2 до 5 заявок.
86. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна а) 0,0002; б) 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.
87. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:
а) ровно три изделия;
б) более трех изделий.
88. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?
89. Вероятность выпуска бракованной микросхемы равна 0,002. Какова вероятность того, что из 2000 присланных в магазин микросхем окажется не менее 3 бракованных?
90. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
91. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено а) ровно 4 пары, б) ровно 5 пар.
92. Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,015. Найти вероятность того, что в партии из 200 телефонов окажется хотя бы один бракованный.
93. Вероятность повреждения бутылки с минеральной водой при перевозке равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 бутылок при перевозке будет повреждено менее двух.
94. Владельцы кредитных карт ценят их и теряют весьма редко — вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случайно выбранного вкладчика составляет 0,001. Банк выдал кредитные карты 2 000 клиентам. Найти:
1) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна ровно одна кредитная карта;
2) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна хотя бы одна кредитная карта;
3) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряно не более трех кредитных карт;
4) наиболее вероятное число кредитных карт, теряемых за месяц.
95. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет:
а) на пяти веретенах;
б) хотя бы на двух веретенах
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2334; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!