Закон распределения вероятностей
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины X задают все значения х1, хг, ..., хп, которые она может принять, и вероятности появления этих значений р1 р2, рп.
Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем
Р1 +р2 +рп=1
Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной — соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида
Свойства математического ожидания:
1. M(CX)= СМ(Х); М(С) = С, где С-произвольная постоянная величина.
2. 
, если 
-
взаимно независимые случайные величины.
3. 
.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
|
|
|
D(X) = М(Х - М(Х))2.
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
D(X) = М(Х2) - (М(Х))2.
Свойства дисперсии:
1. D(CX)= С2D(Х); D(С) = 0, где С-произвольная постоянная величина.
2. 
, если - взаимно независимые случайные величины.
3. 
- среднеквадратичное отклонение
Задачи
121.Студент сдает в сессию два экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго экзамена 0,6. Случайная величина Х – число успешно сданных студентом экзаменов. Написать закон распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение 
.
122.Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на заключение представлено 2 баланса. Случайная величина Х –число правильных заключений на проверяемые балансы. Написать закон распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
123.Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупательь, равна 0,6, а вероятность того, что второй — 0,8. Случайная величина X — число покупок, сделанных покупателями. Написать закон распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
|
|
|
124.Студент в сессию должен сдать 3 экзамена, причем известно, что положительную оценку он может получить за них с вероятностями 
. Предполагая, что различные экзамены представляют собой независимые испытания, построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины 
– числа успешно сданных экзаменов. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение . С помощью ряда распределения найти вероятности того, что студент: а) не сдаст ни одного экзамена; б) студент сдаст ровно два экзамена; в) студент сдаст хотя бы один экзамен.
125.Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Случайная величина Х – число попаданий мяча в корзину. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
|
|
|
126.Три баскетболиста один за другим бросают мяч в корзину. Вероятности попадания для первого, второго и третьего баскетболистов равны соответственно 0,7, 0,8, и 0,9. Случайная величина Х – число попаданий мяча в корзину. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
127. Ткачиха обслуживает 3 станка. Вероятности того, что в течение часа станок не потребует внимания, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Составить закон распределения для числа станков, потребовавших внимания в течение часа. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
128. В экзаменационном билете три задачи. Вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8, третью – 0,7. Случайная величина Х – число правильно решенных задач в билете. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Определить числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
|
|
|
С помощью ряда распределения вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение:
а) в промежутке ; [1; 3)
б) не менее чем 0,5;
в) в промежутке [1,5; 3],
129.Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Предприниматель решил закупить некий товар. Случайная величина Х – число баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
130. Бросают три игральных кубика. Случайная величина Х число выпавших «шестерок» на трех кубиках. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
131. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8, а для каждого последующего выстрела уменьшается на 0,1.Составить закон распределения случайной величины, равной числу попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
132. Устройство состоит из трех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов 0,3; 0,64; 0,5.Cоставить закон распределения числа отказавших приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию.
133. Фирма имеет 4 грузовых автомобиля. Вероятность выхода на линию каждого автомобиля равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины, равной числу автомобилей, которые выйдут на линию в произвольно выбранный день. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
134.Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,15. Случайная величина Х –число отказавших элементов. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
135. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Случайная величина Х число положительных заключений на проверяемые балансы. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
136. Вероятность сбоя в работе АТС равна 0,1. Случайная величина Z - число сбоев, если в данный момент поступило 5 вызовов. Построить ряд распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднеквадратичное отклонение .
137. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит конкурс, согласно которому каждая десятая бутылка напитка, выпущенная фирмой, является призовой. Составить закон распределения числа призовых из четырех приобретенных покупателем бутылок. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
138.Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Случайная величина Х – число выигрышных билетов среди купленных. Написать закон распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
139.В коробке 20 одинаковых катушек ниток, из них — 4 катушки с белыми нитками. Наудачу вынимают 2 катушки. Найти закон распределения числа Х катушек с белыми нитками среди вынутых. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
140.Партия содержит 20 телевизоров, среди которых 6 с дефектом. Купили два телевизора. Составить ряд распределения случайной величины Х - числа исправных телевизоров среди купленных. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
141. В партии из 8 деталей 6 деталей – стандартные. Наугад отбираются две детали.Составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию.
142.В урне имеются 3 белых и 3 синих шара. Одновременно вынимаются три шара. Пусть случайная величина X равна числу синих шаров среди вынутых. Написать закон распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
143.В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
144.Из партии в 20 изделий, среди которых имеется 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных изделий среди отобранных. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
145. Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета в партер. Наудачу взяли 4 билета. Составить закон распределения случайной величины, равной числу билетов в партер среди взятых. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
146.Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа Х опробованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не участвует в испытаниях. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
147.В урне 2 красных и 3 зеленых шара. Из урны извлекают шары до тех пор, пока не появится зеленый. Пусть случайная величина X равна числу извлеченных шаров. Написать закон распределения случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание МХ и дисперсию DX.
148. Вероятность наличия нужной книги для первой библиотеки равна 0,2; для второй, третьей и четвертой соответственно 0,2, 0,4 и 0,5. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посещает студент в поисках нужной книги. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
149. Молодого человека пригласили на день рождения. Он помнил номер дома, но забыл номер квартиры, помня лишь, что номер однозначный и нечетный. Составить закон распределения числа посещенных квартир для отыскания нужной. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
150. У продавца имеются изделия, полученные в равных количествах с трех фабрик. Вероятность того, что эти изделия отличного качества, для каждой фабрики соответственно составляет 0,8; 0,7 и 0,9. Отобрано 2 изделия. Составить закон распределения количества изделий отличного качества среди отобранных.
151. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором — 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.
152. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода — 5%, второго — 2%, третьего — 3%. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найти а) математическое ожидание и б) среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.
153. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым — 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б) дисперсию числа годных изделий среди отобранных.
154. В магазин привезли арбузы из Ташкента и Камышина в равных количествах. Вероятность покупки неспелого арбуза равна соответственно 0,1 и 0,3. Куплено 4 арбуза. Составить закон распределения спелых арбузов среди купленных.
155. В лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша на сумму 200 руб. и 60 руб. Стоимость билета 10 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для лица, купившего два билета.
156. В лотерее 100 билетов, из которых 2 выигрышных по 50 руб. и 10 выигрышных по 1 руб. Стоимость билета 2 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для лица, купившего 2 билета. Построить многоугольник распределения.
157. Банк выдал ссуду в 510 000 руб. под 10% годовых сроком на один год под залог дома клиента. В случае, если дом сгорит, разрушится и т. п. (т. е. произойдёт страховой случай), клиент ничего не вернёт банку, поэтому для уменьшения риска банк обязал клиента приобрести страховой полис на 500 000 руб., заплатив за него 10 000 руб. Дом был оценён экспертами страховой компании в 500 000 руб., а вероятность наступления страхового случая с таким домом в течение года — в 0,001.
1) Составить ряды распределения дохода банка X и дохода страховой компании Xс/к
2) Найти ожидаемые доходы банка и страховой компании.
158. Ряд распределения случайной величины X имеет вид
| X | -5 | 2 | 3 | 4 |
| p | 0,3 | C | 0,5 | 0,1 |
Вычислить
1)C
2) 
3) Р(|Х| < 2,5).
159. Ряд распределения случайной величины X имеет вид
| X | 0 | 2 | 4 | 5 |
| p | 0,3 | 0,05 | 0,5 | C |
Вычислить
1)C
2) 
3) Р(Х <4).
160. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
| X | 2 | 4 | 6 | 8 |
| P | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 0 | 1 | 2 |
| P | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Найти
1) MX, MY
2) DX, DY
3) MZ, DZ, где Z = 2Х + ЗY
161. Задан ряд распределения:
| X | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| P | 0,4 | 0,2 | 0,2 | 0,05 | 0,1 | 0,05 |
Найти М(Х), D(Х) и М(2Х2 + 3).
162. Даны законы распределения независимых случайньх независимых величин:
| X | -4 | 0 | 4 |
| P | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
| Y | 2 | 4 |
| P | 0,5 | 0,5 |
Найти M(Z) и D(Z), если Z = (X + У)/2.
163. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,05. Найти математическое ожидание M(2X-0,5), D(2X-0,5) если случайная величина Xравна числу выигрышных билетов среди 15 купленных.
164. Ветеринар в зоопарке обследует 5 жирафов. Вероятность того, что рост жирафа будет больше 6 метров, равна 0,1. Найти дисперсию D(2X+ 4), если случайная величина Xравна числу обследованных жирафов с ростом более 6 метров.
165. Стороны прямоугольного участка X и У в результате погрешностей измерения оказываются случайными величинами с такими распределениями:
| X | 19,5 | 19,7 | 20 | 20,2 |
| P | 0,2 | 0,05 | 0,7 | 0,05 |
| Y | 29,5 | 29,8 | 30 | 30,1 |
| P | 0,15 | 0,15 | 0,65 | 0,05 |
Найти математическое ожидание площади участка, если известно, что измерения проводились независимыми способами.
166. Финансовая операция форвард состоит в заключении сделки на продажу (или покупку) в будущем некоторого товара по цене, определяемой сторонами в настоящий момент времени. Фермер предполагает, что через месяц, когда он со- берёт урожай, цена пшеницы в каждом из десяти регионов, куда он обычно её продаёт, может с вероятностью 0,9 понизиться и с вероятностью 0,1 повыситься. Поэтому он заключает с десятью мельниками в этих регионах десять форвардов на поставку им пшеницы через месяц по сегодняшней цене. Цены в регионах изменяются независимо. Найти математическое ожидание числа форвардов, которые окажутся выгодными для фермера и вероятность того, что все десять проданных форвардов окажутся для него выгодными (форвард окажется выгодным, если в данном регионе за месяц цена понизится).
167. В банк поступило 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, равна 0,0001. Найти:
1) вероятность того, что при проверке будет обнаружен хотя бы один ошибочно укомплектованный пакет;
2) вероятность того, что при проверке будет обнаружено не более трёх ошибочно укомплектованных пакетов;
3) математическое ожидание и дисперсию числа ошибочно укомплектованных пакетов.
168. Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по почтовым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы фирмы показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ.
1) Найти вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ.
2) Найти среднее число поступивших заказов.
3) Найти дисперсию числа поступивших заказов.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
169. На отрезок [0;1] наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток [0,4;0,7]?
170. Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина большего отрезанного куска составит не менее 80 см.
171. Студент Бездельников любит поспать и потому приходит на первую пару в случайный момент времени от 8.30 до 10.00. В течение первых 20 минут пары преподаватель проводит самостоятельную работу. Какова вероятность того, что студенту Бездельникову не удастся поприсутствовать на самостоятельной работе.
172. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
173. В квадрат вписан равнобедренный треугольник так, что его основание совпадает со стороной квадрата. В квадрат случайным образом бросается точка. Найти вероятность того, что точка не попадет в треугольник.
174. В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.
175. В прямоугольнике 5*4 см2 находится круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?
176. В круг наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.
177. В квадрат со стороной 2 м брошена точка. Найти вероятность того, что точка будет удалена от центра квадрата не больше чем на 0,5 м.
178. В квадрат с вершинами (-1-1); (-1;1); (1;-1); (1;1) наудачу брошена точка . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству x+y<1.
179. Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?
180. Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 3433; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!