Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

В программе такую систему надо набрать в текстовом редакторе.

 

Пример 5.1. Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом

 

Заданная система уравнений может быть представлена в матричной форме :

                                         А×х=В,

Где

А=  - матрица коэффициентов системы;

х=  - вектор-столбец вычисляемого решения системы (не вводится);

В=  - вектор-столбец свободных членов системы.

Решение системы получим в виде матричного уравнения: х=А^-1×В

Порядок выполнения:

Вызвать математическую панель инструментов Мatrix(Матрицы).

Ввести элементы матриц А и В, используя опыт, приобретенный при решении задач 4.1, 4.2.

А:=       В:=

 

Набрать с клавиатуры матричное уравнение:

                                               х:=А^-1×В

Ввести с клавиатуры:

х=

На экране появится вектор корней системы уравнений х₁, х₂, х₃ :

                                                    х=

 

Заметим, как говорилось ранее, в векторе х стоят элементы со смещенными индексами: х₀, х₁, х₂. Таким образом, в соответствии с исходными обозначениями мы получили решение заданной системы линейных алгебраических уравнений:

                    х₁=22,333; х₂=-5; х₃=2,662

 

Проверка: Набрать с клавиатуры А×х=, получим

×                                                                        Аּх=

Результат совпал с исходным вектором свободных членов В. Следовательно, система решена правильно.

 

Пример 5.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Для решения заданной системы по формулам Крамера, необходимо сформировать матрици A, A1, A2, A3:

- А – матрица коэффициентов при неизвестных х₁, х₂, х₃;

- А1 – матрица, полученная заменой коэффициентов первого столбца

 матрицы А свободными членами;

- А2 – матрица, полученная заменой коэффициентов второго столбца

                  матрицы А свободными членами;

- А3 –матрица, полученная заменой коэффициентов третьего столбца

матрицы А свободными членами.

Для данной системы уравнений, если определитель |A|≠0, решение будет определяться формулами Крамера:

 

х₁:=            х₂:=           х₃:=

Порядок выполнения:

 

Сформировать с использованием математической панели инструментов Мatrix матрицы: A, A1, A2, A3

 

А:= A1:= A2:= A3:=

Набрать с клавиатуры:

 

х₁=                      х₂:=           х₃:=

 

Получить решение: х₁=22.333            х₂=-5     х₃=2.662

 

Пример 5.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием встроенной математической функции lsolve

 

(Обратите внимание: встроенная математическая функция lsolve имеется только в MATHCAD-2000 и в последующих версиях).

 

Для решения достаточно определить матрицу А и вектор В и набрать с клавиатуры:

                                           х:=lsolve(A,B)

 

Вывести результат:

х=

 

Следовательно: х₁=22,333 ; х₂=-5; х₃=2,662 . Мы получили те же результаты, что и в примерах 5.1 и 5.2.

Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений типа y(x)=0 целесообразно производить в 2 этапа: сначала определить грубое начальное приближение корней по графику функции, полученном с использованием математической панели инструментов Graph (Графика), а затем методом последовательных приближений найти более точные значения с помощью встроенной функции root(y(x),x).

Рассмотрим примеры.

Пример 6.1. Найти корни нелинейного уравнения с использованием стандартной математической функции root(f(x), x).

Задано нелинейное уравнение: y(x) = 0,2x² + cos x –0,8 . Требуется определить его корни, которые находятся на отрезке х от 0 до 5.

Порядок выполнения:

Ввести с клавиатуры уравнение

                                                                   y(x):= 0.2ּx² + cos(x) –0.8

Задать диапазон изменения аргумента х с шагом 0,1:

                                                                                             х:=0,0.1..5

Вызвать с панели инструментов математическую панель Graph.

Построить график функции у(х) с использованием панели Graph и с сеткой значений. На графике проведем черту (пунктир) у=0.

На экране график функции получит вид:

            Рис. 6.1. Определение начальных приближений корней

 

Для получения сетки в поле графика сделаем 2 щелчка мышью, и в появившемся диалоговом окне выделим пункты: "Линии сетки"; "Пронумеровать" и "Автомасштаб". Затем установим по оси х количество интервалов сетки 5, а по оси у – 6.

Из графика видно, что нелинейное уравнение имеет 2 корня, т.к. график дважды пересекает нулевую линию. Искомые корни находится примерно при х=1 и х=3. Эти значения принимаем за начальные.

Более точные значения корней находим методом последовательных приближений с использованием стандартной функции root(у(х),х), аргументами которой являются заданная функция у(х) и начальное приближение корня х. Введем начальные значения корней, а за ними функцию root cо знаком равенства, получим более точные значения корней:

 

                                        x:=1     root(у(x), x) = 0.861

                                        х:=3     root(у(x), x) = 2.991

 

Значения корней можно вычислить иначе:

 

x:=1 x1:=root(у(x),x) x:=3 x2:=root(у(x),x) x1=0.861 x2=2.991

 

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 223; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!