Геодезична кривина кривої на поверхні. Теорема про обчислення геодезичної кривини.
Геодезична кривина кривої на поверхні.
Геодезичною кривиною kg регулярної кривої 
на регулярній поверхні в даній точці називається скалярна проекція вектора кривини кривої в цій точці на дотичну площину поверхні в тій же
точці.
Теорема про обчислення геодезичної кривини.
Геодезична кривина kg кривої u1 =u1(t),u2 =u2(t) на поверхні r =r(u1,u2 ) обчислюється за формулою
,
де по індексах i, j =1,2 виконується підсумовування.
Напівгеодезична параметризація поверхні. Перша квадратична форма поверхні та повна кривина в напівгеодезичній параметризації.
Параметризація поверхні наз. напівгеодезичною, якщо одне сімейство координатних ліній складається з геодезичних, а друге- з ортогональних траекторій сімейства геод. ліній.
Ортогональною траекторією сімейства кривих наз. крива, яка кожну криву сімейства перетинає під прямим кутом.
Перша квадратична форма поверхні та повна кривина в напівгеодезичній параметризації.
Геодезичні лінії та їх властивості.
Лінія на поверхні називається геодезичною, якщо її геодезична кривина в кожній точці дорівнює нулю.
Відповідно до формули для обчислення kg диференціальне рівняння геодезичних ліній поверхні може бути записане у вигляді
Властивості:
1.При ізометричних відображеннях поверхні геодезичні лінії переходять в геодезичні.
2. Через кожну точку регулярної поверхні в будь-якому напрямку можна провести геодезичну лінію
|
|
|
і лише одну.
3. Через будь-які дві достатньо близькі точки поверхні можна провести геодезичну лінію і до того ж тільки одну.
4. З усіх кривих поверхні, що з’єднують дві достатньо близькі точки, дуга геодезичної лінії має найменшу довжину.
5.Із всіх кривих поверхні, що проходять через дану точку М і мають в цій точці спільну дотичну криву, геодезична лінія має найменшу кривину.
Критерій геодезичної лінії.
Для того, щоб лінія на поверхні була геодезичною, необхідно і достатньо, щоб вона була або прямою, або в кожній її точці співпадали головна нормаль і нормаль до поверхні.
Доведення 
співпадали головна нормаль і нормаль до поверхні.
Приклади.
1.Якщо на поверхні є пряма лінія, то вона є геодезичною.2. Образуюча циліндра.3. Пряма на площині.4. Однополосний гіперболоїд.5. Великі кола сфери є геод. лініями.6. Напрямлюючі кругового циліндра;
Поверхні постійної кривини.
Псевдосфера (поверхня Бельтрамі) - поверхня постійної негативної кривизни, утворена обертанням трактриси біля її асимптоти. Назва підкреслює схожість і відмінність з сферою, що є прикладом поверхні з кривизною, також постійною, але позитивною.
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 265; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!