Асимптотичні напрямки. Існування асимптотичних напрямків.
Зв’язок нормальної та геодезичної кривин з кривиною кривої.
Асимптотичні лінії поверхні. Критерій асимптотичної лінії (з доведенням).
Повна та середня кривина поверхні, їх обчислення
Лінії кривини поверхні. Теорема про існування ліній кривини.
Крива на поверхні називається лінією кривини, якщо у кожній її точці її дотична пряма має головний напрямок. Лінія на поверхні називається лінією кривини, якщо її напрямок в кожній точці являються головним напрямком, значить рівняння 
являється рівнянням лінії кривини.
Теорема. Через кожну не омбілічну точку поверхні проходить дві і тільки лінії кривини.
Теорема. Координатна сітка лінії на поверхні являється сіткою ліній кривини тоді і тільки тоді, коли 
.
Характеристична властивість сфери.
Теорема. Регулярна поверхня класу C3 є сферою тоді і тільки тоді, коли будь-яка її точка омбілічна.
Критерій координатності ліній кривини.
Теорема. Координатная сеть поверхности является сетью линий кривизны тогда и только тогда, когда g12=0 h12=0.
Теорема Ейлера та наслідки з неї.
Нехай 
- це кут, який утворений довільним напрямком з головними напрямками і 
- нормальна кривина в цьому напрямку, 
- головні кривини.
Формула Ейлера для нормальної кривини в довільному напрямку має вид: 
.
Дериваційні формули Вейнгартена.
Дериваційні формули гаусового репера називаються дериваційними формули Вейнгартена.
|
|
|
Дериваційні формули Вейнгартена мають вигляд 
Класифікація точок поверхні. Характеристична властивість площини.
Означення омбілічної точки поверхні. Критерій омбілічної точки.
Точка поверхні називається омбілічною, якщо в ній головні кривини співпадають, або, що те ж саме, в цій точці будь-який напрямок є головним. Таким чином, в омбілічній точці нормальна кривина будь-якого нормального перетину є головною і всі вони рівні між собою.
Критерій омбілічної точки.
Точка поверхні є омбілічною тоді і тільки тоді, коли в ній пропорційні коефіцієнти першої і другої квадратичних форм, тобто
h11/ g11= h12/ g12 = h22/ g22.
Теорема Гауса. Основна теорема теорії поверхонь.
Теорема Гауса.
Полная или гаусовая кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Т.е. не изменяется при изометрических отображениях поверхности или, что тоже самое, является инвариантом внутренней геометрии поверхности.
Основна теорема теорії поверхонь.(th Гаусса-Бонне)
Нехай U – відкрита зв'язна область на R2 і нехай на U задані дві квадратичні форми
для яких виконані умови:
|
|
|
1.Перша квадратична форма додатно-означена;
2.Всі функції gij =gij (u,v), hij =hij (u,v) і їх частинні похідні в області U є функціями класу Ск, k ≥1;
3.Функції gij і hij зв'язані рівняннями Гауса і Петерсона-Кодацци-Майнарді.
Тоді існує регулярна поверхня, для якої задані форми є відповідно першою і другою квадратичними формами. Крім того, ці форми визначають поверхню однозначно з точністю до положення в просторі.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 608; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!