Ізометричні відображення поверхні. Теорема про ізометрії. Поняття про внутрішню геометрію поверхонь.
Нехай заданы 2 пов-ти:F1, F2. Точечное отображение 
называется изометрией, если оно сохраняет длины соответствующих кривых., при этом сами пов-ти называются изометричными. 
Критерий изометричности: Для того, чтобы 2 пов-ти были изометричными НиД, чтобы на них существовали такие параметризации, относительно которых первые квадратичные формы полностью одинаковы(с точностью до обозначений).
Совокупность инвариантов изометричного отображения поверхности называется внутренней геометрией поверхности.
Список інваріантів внутрішньої геометрії поверхні.
Соответственно с критерием изометричности инвариантными являются такие свойства поверхности, которые можно выразить только через коефициенты І-ой квадратичной формы:
1) длинна дуги кривой, лежащей на поверхности; 2)угол между кривыми; 3) площадь обл. на поверхности; 4) полная кривизна поверхности; 5) геодезическая линия.
2)
Друга квадратична форма поверхні. Обчислення її коефіцієнтів.
Теорема про геометричний зміст другої квадратичної форми поверхні.
Нормальний перетин поверхні. Нормальна кривина нормального перетину. нормальні перетини в околі еліптичної, гіперболічної, параболічної точок.
Нормальная кривизна нормального сечения с точностью до знака совпадает с обычной кривизной этого сечения; это свойство упрощает задачу вычисления нормальной кривизны кривой; можно рассматривать только кривизны нормальной кривой 
|
|
|
В окресности элиптических точек все нормальне сечения либо выпуклы, либо вогнуты (поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости)(локально).
В окресности гиперболических точек нормальное сечение является либо прямой, либо кривой, имеющей в т.М перегиб.(т.е. в окресности гиперболических точек поверхность расположена по разные стороны от касательной плоскости)
Нормальна кривина кривої на поверхні та її властивості. Теорема Менье.
Обчислення нормальної кривини.
Головні напрямки та головні кривини поверхні. Теорема про існування головних напрямків (з доведенням).
Головними кривинами поверхні в точці P називаються найбільше і найменше із нормальних кривин в цій точці. Головними напрямками поверхні в точці P називаються напрямки кривих поверхні, що мають в точці P головні кривини. Головні кривини позначаються k1 , k 2 .
У кожній точці поверхні існують або два і лише два взаємно ортогональних головних напрямка, або будь-який напрямок є головним.
38. Обчислення головних кривин та головних напрямків.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 264; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!