Дотична площина та нормаль для неявно заданої поверхні.

Якщо поверхня задана неявно рівнянням F(x,y,z)=0 і вектор ∆F(F_x,F_y,F_z)≠0 у точці M₀(x₀,y₀,z₀), то вектор ∆F перпендикулярний до дотичної площини поверхні в точці M . Рівняння дотичної площини й нормалі поверхні F(x,y,z)=0 в точці M₀(x₀,y₀,z₀), мають відповідно вигляд

F’_x(M₀)(x-x₀) + F’_y(M₀)(y-y₀) + F’_z(M₀)(z-z₀) =0,

(x-x₀)/ F’_x(M₀) + (y-y₀)/ F’_y(M₀) + (z-z₀)/F’_z(M₀) =0,

 

де M₀(x₀,y₀,z₀) - довільна точка дотичної площини або нормалі.

 

Означення та властивості першої квадратичної форми поверхні.

Нехай F – регулярна поверхня, задана рівнянням r = r (u,v). У будь-якій точці М= r(u,v) є F, існує локальний репер {M,r_u,r_v}, вектори базису якого визначають дотичну площину T_МF. Будемо розглядати дотичну площину як двовимірний векторний простір. Вектори цього простору мають вигляд dr = r_udu + r_vdv. Введемо в T_МF структуру евклідового простору за допомогою скалярного добутку векторів і знайдемо наступну квадратичну форму від du, dv

dr²=g₁₁du²+2g₁₂dudv+g₂₂dv² , де

g₁₁= (r_u,r_u)

g₂₁=(r_u,r_v)

g₂₂=(r_v,r_v).

вона наз. першою квадратичною формою поверхні. Для регулярної поверхні перша квадратична форма завжди додатньовизначена.

 

Довжина кривої на поверхні. Геометричний зміст першої квадратичної форми.

Довжина дуги кривої обчислюється за формулою

 

Перша квадратична форма поверхні є квадратом диференціала довжини дуги кривої, що лежить на поверхні. Це твердження розкриває геометричний зміст першої квадратичної форми.

 

Кут між кривими на поверхні. Критерій ортогональності сітки поверхні.

Кутом між кривими називається кут φ між дотичними прямими в точці перетину кривих. Для обчислення кута існує формула

Тут dv, du - координати направляючого вектора дотичної прямої до oднієї кривої відносно локального репера, оскільки dr = r_udu + r_vdv. Аналогічно δu,δv - локальні координати направляючого вектора дотичної прямої до другої кривої. В цій формулі коефіцієнти g_ij потрібно обчислювати в точці перетину кривих.

Теорема (критерій ортогональності координатної сітки поверхні): координатна сітка поверхні ортогональна тоді й тільки тоді, коли другий коефіцієнт першої квадратичної форми поверхні дорівнює нулю, тобто g₁₂=0. 

 

Площа області на поверхні (з доведенням).

Нехай F – регулярна поверхня, G – область на цій поверхні, обмежена скінченим числом кусково-гладких кривих. Розіб'ємо область G на маленькі області кусково-гладкими кривими. Нехай g – одна з таких областей. Візьмемо в області g точку P . Побудуємо в точці P дотичну площину й спроектуємо всю область g на цю дотичну площину. У дотичній площині одержуємо область g . Під площею області G будемо розуміти число

, де S(g) – площа плоскої області g , V(g) – діаметр області g .

Нехай поверхня F : r ru, v визначена на множині V , тобтоu, v∈V . Розглянемо комірку

MM 1M 2 M 3 : M ru, v , M1 ru du, v ,

M 2 ru, v dv , M 3 ru du, v dv ,обмежену координатними лініями  : u const і  : v const . Для довжин сторін MM1 і MM 2 маємо:

dS ² g ₂₂dv ² r_v² dv ², S  ,

dS ² g ₁₁dv ² r_u² du ², S  ,

 

Замінимо комірку паралелограмом зі сторонами dS й  і позначимо через його площу. Тоді

 

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 289; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!