Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?
Может, и такая ситуация реально встречается на практике.
– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:
Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:
– в таком виде интегрировать значительно удобнее.
Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:
– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.
В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.
Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы 
. Появившуюся константу 
целесообразно отделить от 
и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница 
. Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
|
|
|
Пример.
Вычислить определенный интеграл.
.
Немного усложняем задачу:
Пример.
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:
СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: 
– первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут 
(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.
Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например,
Здесь устно использовались правила линейности, устно проинтегрировали по таблице. Получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов: 
(в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, сначала подставили сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.
|
|
|
Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, лучше использовать первый способ, при рассмотренном способе решения точно где-нибудь потеряется знак.
Однако несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная 
находится в одной скобке.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 2760; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!