Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?
Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию 
подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.
Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле.
Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла.
В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.
Пример 5
Вычислить определенный интеграл
Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: 
Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем 
, а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим наш интеграл к замене:
Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: 
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: 
.
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть 
подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал 
:
|
|
|
По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.
Находим новые пределы интегрирования.
Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования 
, 
.
Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:
Продолжаем решение.
(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.
(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу 
лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования 
– это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница 
.
Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.
Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.
|
|
|
Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!