Влияние сопротивления на вынужденные колебания
Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси 
под действием линейной восстанавливающей силы 
, силы линейно – вязкого сопротивления 
и гармонической вынуждающей силы 
. Составим дифференциальное уравнение движения
.
Оно может быть переписано в виде
, (1.20)
где 
- постоянные коэффициенты. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого есть сумма решений однородного уравнения (1.12) и частного решения уравнения (1.20). В случае, когда 
, последнее будем искать в виде 
, где 
- неизвестные постоянные. Подставим выражений для 
и 
в неоднородное уравнение (1.20) и приравняем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях в левой и правой частях уравнения. Получим систему из двух алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные величины
. (1.21)
Тогда общее решение неоднородного уравнения запишется как
, (1.22)
где 
, а 
и 
- постоянные величины, определяемые из начальных условий. Через некоторый промежуток времени в результате действия силы сопротивления, в решении (1.22) остается только последнее слагаемое, характеризующее вынужденные установившиеся колебания. При этом перемещение материальной точки будет сдвинуто по фазе относительно вынуждающей силы на угол 
. На рис.1.13 приведены амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики этого движения.
Рис.1.13
Отметим несколько особенностей: наличие сопротивления делает амплитуду вынужденных колебаний при резонансе конечной, а частота, при которой наблюдается максимум, смещается в сторону начала координат; с ростом сопротивления величина амплитуды уменьшается. Уже при значении 
явно выраженный максимум отсутствует. Сдвиг фаз между перемещением материальной точки и вынуждающей силой при фиксированном сопротивлении будет постоянной величиной, определяемой частотами свободных колебаний и вынуждающего воздействия (см. формулы (1.21)).
Вынужденные колебания при действии периодической возмущающей силы.
Пусть вынуждающая сила зависит от времени (см. рис. 1.14а-в) и изменяется по негармоническому закону, но является периодической функцией, удовлетворяющей условиям Дирихле. Эти условия формулируются так: на конечном интервале функция ограничена, имеет разрывы только первого рода и конечное число экстремумов. В этом случае, во-первых, справедливо равенство 
, где 
- период возмущающей силы, во-вторых, функция 
допускает разложение в тригонометрический ряд Фурье:
, (1.23)
где 
; 
; 
;
; 
; 
.
Члены ряда Фурье называются гармониками соответствующего порядка (первого, второго, и так далее).
Рис.1.14
Очевидно, что и в этом случае, в силу линейности уравнения движения, решение может быть получено в виде суммы решений, каждое из которых найдено в предположении, что действует только одна гармоника вынуждающей силы, т.е. 
, где 
- смещение центра установившихся колебаний по отношению к положению равновесия.
На практике число гармоник 
должно быть ограничено. Так, если ряд Фурье для функции сходиться достаточно быстро ( 
, при условии, что 
- т.е. резонанс отсутствует), то число учитываемых слагаемых определяется желаемой точностью расчета.
Если ряд Фурье сходится медленно, то при ограничении числа гармоник следует руководствоваться следующим соображением: рассмотренная колебательная модель ведет себя как фильтр, пропускающий практически без искажения гармоники с частотами 
, усиливающий гармоники с частотами, близкими к резонансной, и не пропускающий гармоники с частотами 
(см. амплитудно-частотные характеристики рис.1.9 и 1.13). Тогда, если 
, одно (или несколько) кратных значений 
могут оказаться в околорезонансной области и, как следствие, вклад соответствующих гармоник в решение будет определяющим; в этом случае число учитываемых гармоник должно быть больше числа 
, соответствующего резонансному режиму. Если 
, резонанс невозможен, а коэффициент динамичности монотонно убывает; в таком случае можно ограничиться достаточно малым числом учитываемых гармоник.
ПРИМЕР 5. На тело, прикрепленное к пружине [8], действует возмущающая сила, изменяющаяся во времени по закону, изображенному на рисунке 1.15.а. Возмущающая сила 
действует одну треть периода . Определить установившиеся вынужденные колебания для двух случаев: 
и 
, если движение происходит в линейно-вязкой среде ( 
) с безразмерным коэффициентом сопротивления 
.
Рис.1.15
Примем за начало отсчета координаты положение статического равновесия. Пусть 
- безразмерная возмущающая сила. Представим ее, согласно (1.23), в виде ряда
где 
; 
; ; 
; 
; 
.
Очевидно, что для всех гармоник с порядком , кратным трем, 
, а 
не имеет смысла.
Результаты расчета для первых десяти гармоник приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 592; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!