Колебания материальной точки

Nbsp;  

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ КОЛЕБАНИЙ

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ          нет соответствия номеров страниц

 

Введение                                                                                           3

1. Колебания материальной точки.                                        5

1.1. Свободные колебания.                                                               5

1.2. Свободные колебания при сухом трении.                                     7

1.3. Свободные колебания при линейно – вязком сопротивлении.     9

1.4. Вынужденные колебания материальной точки при действии гармонического возбуждения.                                                         13

1.5. Влияние сопротивления на вынужденные колебания.                  17

1.6. Вынужденные колебания при действии периодической
возмущающей силы.                                                                          18

2. Колебания механических систем.                                 23

2.1. Положение равновесия.                                                              23

2.2. Критерий устойчивости положения равновесия.                    23

2.3. Свободные колебания механической системы с одной

 степенью свободы.                                                                          29

2.4. Колебания системы с одной степенью свободы при

 линейно-вязком сопротивлении.                                                     31

2.5. Вынужденные колебания системы при силовом гармоническом
вынуждающем воздействии.                                                        35

2.6. Вынужденные колебания вязкоупругой системы при силовом
гармоническом воздействии.                                                                      37

2.7. Вынужденные колебания в случае периодической
возмущающей силы.                                                                          38

2.8. Вынужденные колебания в случае непериодической
возмущающей силы.                                                                          40

2.9. Система с линейно-вязким сопротивлением при произвольной
нагрузке.                                                                                            42

3. Колебания систем с конечным числом степеней свободы. 43

3.1. Кинетическая энергия консервативных механических систем. 43

3.2. Свободные колебания упругих систем с конечным числом
степеней свободы.                                                                              44

3.3. Вынужденные колебания консервативной системы с конечным
числом степеней свободы при силовом гармоническом воздействии. 52

3.4. Динамический гаситель колебаний.                                59

3.5. Главные (нормальные) координаты.                                        62

3.6. Учет линейно-вязкого сопротивления при вынужденных

колебаниях систем с конечным числом степеней свободы.           65

4. Параметрические колебания.                                          71

4.1. Построение матрицы переноса                                                           74

4.2. Уравнение Мейснера.                                                                 75

4.3. Диаграмма Айнса-Стретта.                                                        78

4.4. Уравнение Матье.                                                                       79

4.5. Влияние вязкого трения на параметрические колебания.        82

4.6. Учет вязкого трения в уравнениях Матье.                                    84

4.7. Параметрическое возбуждение колебаний по закону
прямоугольного синуса.                                                                   85

5. Колебания механических систем с распределенными параметрами                                                                                    88

5.1. Продольные колебания стержней.                                             88

5.2. Крутильные колебания стержней.                                             89

5.3. Формулировка и решение начально-краевой задачи.           90

5.4. Ортогональность форм собственных колебаний.                    91

5.5. Учет внутреннего сопротивления при продольных и
крутильных колебаниях стержней.                                                 96

5.6. Уравнение колебаний струны.                                            98

5.7. Решение волнового уравнения для неограниченной струны.      100

5.8. Изгибные колебания балок.                                                       102

5.9. Вынужденные гармонические поперечные колебания балок.     107

5.10. Приближенные методы определения собственных частот
изгибных колебаний призматической балки.                             109

5.10.1. Энергетические методы.                                                        110

5.10.2. Формула Рэлея.                                                                         111

5.10.3. Метод Ритца.                                                                          112

5.10.4. Метод Бубнова - Галеркина.                                                113

5.11. Изгибные колебания трубопровода с движущейся  вставлен параграф

жидкостью.

6. Автоколебания.                                                                           116

6.1 Элементарная теория дивергенции и флаттера.                        119

6.2. Гидроупругие колебания.                                                          122

6.3. Математическая модель изгибно-крутильных колебаний
упругого крыла.                                                                           123

6.4. Постановка задачи о динамической неустойчивости. Уравнения
гидроупругих колебаний.                                                                 127

7. Управление колебательными процессами.                             130

7.1. Уравнения возмущенного движения обращенного маятника.          130

7.2. Управление обращенным маятником.                                       132

7.3. Управление свободными колебаниями балки.                          134

7.4. Управление гидроупругими колебаниями крыла.                             138

7.5. Аннулирующая обратная связь.                                          140

7.6. Стабилизирующая обратная связь.                                                    145

Литература                                                                                        149

 

Введение

 

Весьма трудно дать исчерпывающее определение колебательного процесса механических систем вследствие большого разнообразия этого вида движений. Основным признаком колебательного процесса является движение в «прямом» и «обратном» направлениях, в частности периодическое движение маятника, груза подвешенного на пружине (рис.В.1) и т.п. Колебаниями механических систем называется процесс, характеризуемый многократным повторением возрастания и убывания некоторых физических величин, например скоростей движения точек механической системы.

 

 

Рис.В.1

Теорию колебаний не интересует вопрос, где находится движущееся тело в данный момент времени, задача ставится иначе: используя новые характеристики движения, требуется описать общий характер колебательного процесса. К таким характеристикам относятся: амплитуда, частота, период, начальная фаза, декремент и т.п. Численная информация о значениях этих величин в конкретных случаях позволяет сделать практически важные выводы, касающиеся степени опасности колебательных процессов, которые могут привести к разрушению механизмов и конструкций. И наоборот, оценить эффективность машин, использующих вибрационные принципы движения (сеялки, транспортеры, вибраторы, перфораторы, уплотнители бетона и грунта и т.п.). В окружающем нас мире и технике встречаются различные по природе возникновения колебательные движения.

1. К свободным колебаниям относят движения, которые происходят в силу определенных свойств самих механических систем (рис.В.2) при условии, что в начальный момент система была выведена из положения равновесия. Это означает, что в начальный момент система получает начальную механическую энергию, которая остается неизменной в процессе дальнейших колебательных движений, то есть энергетический обмен с внешними источниками отсутствует.

      

    Рис.В.2               Рис.В.3                              Рис.В.4

2. Вынужденные колебания возникают ввиду действия на механическую систему изменяющихся во времени возмущающих сил, при этом за каждый цикл механическая система получает некоторую порцию энергии от внешнего источника (рис.В.3).

3. Параметрические колебания вызваны периодическим изменением параметров самой механической системы (например жесткостью упругих элементов (рис.В.4).

4. Автоколебания представляют собой повторяющиеся движения, происходящие в результате их поддержания порциями энергии, поступающей от внешнего источника не колебательного характера (на рис.В.5 изображено крыло самолета в набегающем потоке воздуха и его модель).

 

Рис.В.5

 

Колебания материальной точки.

Материальная точка – простейший механический объект, с которого целесообразно начать изучение колебательного движения. Математическое описание при этом будет наиболее простым, а основные физические черты процесса колебаний могут быть отражены в достаточно полной мере.

 

Свободные колебания.

В случае, когда действующая на материальную точку позиционная сила стремиться вернуть ее в исходное положение, движение точки будет носить колебательный характер. Такую силу принято называть восстанавливающей.

Пусть материальная точка может двигаться по известной траектории под действием восстанавливающей силы, структура которой имеет вид

.

Здесь - проекция силы на касательную к траектории, - известный коэффициент пропорциональности, а - криволинейная координата, являющаяся отклонением точки от начального положения. Тогда дифференциальное уравнение движения материальной точки вдоль траектории будет

.

Перепишем уравнение в виде

, где  .                          (1.1)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Предположим, что его решение должно иметь вид

.                                           (1.2)

Для проверки правильности предположения найдем выражение для  и подставим его и (1.2) в (1.1). Вынося общий множитель за скобку, имеем

.

Полученное произведение равно нулю, если . Это означает, что предположение (1.2) справедливо, а решение уравнения (1.1) имеет вид

, где .                     (1.3)

Если известны начальные условия движения ( - начальное положение, - начальная скорость), для определения постоянных величин  и  начальные условия следует подставить в выражениях для  и . В результате приходим к системе алгебраических уравнений

                                         

которая позволяет найти

и  .                    (1.4)

Таким образом, под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т.е. гармоническое колебательное движение. Эти колебания называют свободными, наибольшее отклонение  - амплитудой, аргумент  - фазой, а - начальной фазой колебаний. Величина  называется круговой частотой колебаний; она определяет число колебаний, совершаемых точкой за секунд (здесь - период колебаний). Заметим, что частота  зависит только от массы точки  и коэффициента пропорциональности  (т.е. инерционно – жесткостных характеристик), и не зависит от начальных условий движения. В связи с этим частоту свободных колебаний иногда называют собственной частотой механической системы.

Если начало отсчета координаты  находится не в положении статического равновесия, дифференциальное уравнение движения оказывается неоднородным, а его решение будет суммой из полученного выше решения однородного дифференциального уравнения и частного решения. Физический смысл последнего – расстояние от начала отсчета до положения статического равновесия, около которого и происходят свободные колебания точки.

ПРИМЕР 1. В результате воздушного взрыва корабль получил вертикальную скорость . Найти период и амплитуду вертикальной качки корабля, если известны площадь его ватерлинии , водоизмещение  и присоединенная масса жидкости в вертикальном направлении . Развалом бортов и сопротивлением воды пренебречь. 

РЕШЕНИЕ. Обозначим вертикальное перемещение корабля  (см.рис.1.1).

Рис.1.1

Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний корабля, спроецировав на вертикаль действующие на него силы (сила веса и архимедова сила поддержания):

,

здесь  - удельный вес воды, - объем подводной части корабля в равновесном состоянии. При записи уравнения учтено, что в равновесном положении водоизмещение корабля и сила поддержания равны и противоположно направлены. Приведем полученное уравнение к виду (1.1)

 , здесь .

Тогда период вертикальных колебаний будет

 .

Формулы (1.4) позволяют найти амплитуду и начальную фазу вертикальных колебаний как

.

ПРИМЕР 2. Груз  висит на пружине жесткости  в состоянии равновесия (рис.1.2). Половина груза  отделяется с нулевой начальной скоростью. Определить закон движения оставшейся часть системы.

 

                

Рис.1.2

РЕШЕНИЕ. Выберем начало координат в положении равновесия оставшейся части системы. Тогда уравнение движения примет вид

.

Учтем, что в положении равновесия , тогда

, где .                

До начала движения растяжение пружины было . Тогда начальные условия будут: . Формулы (1.4) позволяют найти амплитуду и начальную фазу колебаний и подставить их выражения в закон движения груза

.

 

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1262; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!