Свободные колебания при сухом трении
Обсудим влияние сухого трения в ходе решения задачи о движении груза массы 
по горизонтальной шероховатой поверхности (см. рис.1.3), коэффициент трения скольжения 
для которой задан; груз присоединен к стене пружиной длины 
и жесткости 
.
Рис.1.3
Покажем на рисунке силы, действующие на груз при его движении в положительном направлении оси 
. Запишем дифференциальное уравнение движения груза
и приведем его к виду
. (1.5)
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого есть сумма решений однородного уравнения (1.1) и частного решения уравнения (1.5). Последнее находится достаточно просто, если предположить, что его величина равна константе 
; тогда подстановка в неоднородное уравнение позволяет определить ее величину 
.
Общее решение неоднородного уравнения запишется как
.
Так как направление силы трения противоположно скорости движения груза, полученное решение справедливо только при положительной скорости 
. При движении материальной точки в противоположном направлении, сила трения изменит направление на противоположное ( 
на рис.1.3). Это приведет к изменению знака правой части дифференциального уравнения (1.5) и, как следствие, знака частного решения. Поэтому окончательно имеем:
при 
;
при 
. (1.6)
Зависимость перемещения груза от времени изображена на рис.1.4.
|
|
|
Рис.1.4
В настоящем пособии ограничимся обсуждением приведенного результата (с подробным решением задачи можно ознакомиться, например, в [1,4]). Хотя движение, описываемое формулами (1.6), строго говоря, не является периодическим (так как с течением времени максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются), в механике такое движение принято называть затухающими колебаниями.
Заметим, что, во-первых, анализируемое движение должно рассматриваться как последовательность этапов, в пределах каждого из которых величина скорости точки сохраняет свой знак; время, положение и скорость в конце предыдущего этапа оказываются начальными условиями для последующего этапа. В результате период затухающих колебаний 
равен периоду свободных колебаний, а наибольшие отклонения от положения равновесия (см. рис.1.4) образуют арифметическую прогрессию
. (1.7)
Во-вторых, движение точки заканчивается в тот момент, когда ее максимальное отклонение (при этом скорость точки равна нулю) оказывается в зоне, называемой зоной нечувствительности или зоной застоя. Ширина зоны 
определяется величиной силы сухого трения (в этой зоне сила упругости пружины оказывается меньше силы сухого трения, т.е. 
, и точка не может продолжить свое движение).
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 389; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!