Практична робота №10 «Вибірковий метод та статистичне оцінювання»

Основні поняття і визначення.

За одним із поширених визначень, статистика – це наука, яка дає змогу поширювати висновки, зроблені на підставі вивчення частини сукупності (випадкової вибірки), на всю сукупність (генеральну сукупність). В цьому визначенні міститься суть вибіркового методу та визначається його провідна роль у статистиці.

Всі одиниці сукупності, які є носіями досліджуваної ознаки, утворюють генеральну сукупність.

Частина сукупності випадковим чином відібрана з генеральної сукупності, - вибіркова сукупність – вибірка.

Число одиниць (елементів) статистичної сукупності називається її об’ємом. Обсяг генеральної сукупності позначають N, а обсяг вибіркової сукупності – n.

Випадкова вибірка з n елементів – це такий відбір, при якому елементи вилучаються по одному з усієї генеральної сукупності і кожний із них має однакові шанси бути відібраним. Вимога випадковості забезпечується відбором та таблицями випадкових чисел чи за жеребом. Така вибірка називається власне – випадковою.

За способом відбирання елементів розрізняють два типи випадкових вибірок: власне – випадкова повторна ( вилучений у вибірку елемент реєструється і повертається до генеральної сукупності, звідки знову може бути вилучений випадковим чином); власне – випадкова без повторна (вилучений елемент не повертається до генеральної сукупності після реєстрації).

Нехай з генеральної сукупності вилучається вибірка об’ємом n, причому значення ознаки х₁ спостерігається n₁ раз, х₂ – n₂ рази, …, х_к – n_к разів.

- обсяг вибірки.

Статистичним розподілом вибіркиназивають перелік можливих значень ознаки х_і і відповідних їм частот n_i або відносних частот (частостей) w_i.

Числові характеристики генеральної сукупності, зазвичай невідомі, називають параметрами генеральної сукупності(позначають , ). Частка одиниць, які володіють тією чи іншою ознакою в генеральній сукупності, називається генеральною часткоюі позначається р.

За даними вибірки розраховують числові характеристики, які називають статистиками(позначають , , вибіркова частка позначається ). Статистики, які отримують за різними вибірками часто відрізняються одна від одної. Тому статистика, отримана за вибіркою, є тільки оцінкою невідомого параметра генеральної сукупності. Оцінка параметра – певна числова характеристика, отримана за вибіркою. Коли оцінка визначається одним числом, її називають точковою оцінкою.

 Вибіркова середня є точковою оцінкою генеральної середньої,тобто .

Генеральна дисперсія має дві точкові оцінки: вибіркова дисперсія; S² – виправлена вибіркова дисперсія.  обчислюється при n  30, а S² – при n< 30.

S² = · .

Генеральне середнє квадратичне відхилення  також має дві точкові оцінки:  - вибіркове середнє квадратичне відхилення та S – виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення.  використовується для оцінювання  при n  30, а S для оцінювання  при n 30; при цьому  = , а S = .

Про величину розбіжності між параметром і статистикою = t , можна судити тільки з певною ймовірністю, від якої залежить величина t. Таким чином встановлюється зв'язок між граничною похибкою , яка гарантується з деякою ймовірністю p, величиною t та середньою похибкою вибірки = .

Значення ймовірностей, які відповідають різним t, містяться в спеціальних таблицях: при n 30 – в таблиці значень Ф(t), а при n < 30 – в таблиці розподілу t – Стьюдента. Невідоме значення _ген при розрахунку похибки вибірки заміняється _виб.

 В залежності від способу відбору середня похибка вибірки визначається по різному:

	Власне-випадковий відбір
	повторний	безповторний
Для середньої
Для частки

 

Тут - вибіркова дисперсія; - вибіркова дисперсія частки значень ознаки m; n - обсяг вибірки; N – обсяг генеральної сукупності;  - частка досліджуваної сукупності;  - поправка на скінченність сукупності.

З формули граничної похибки = t  та формул середніх похибок вибірки визначаються формули необхідної чисельності вибірки для різних способів відбору:

 

 

	Власне-випадковий відбір
	повторний	безповторний
Для середньої
Для частки

 

Інтервальною оцінкою (P( - )називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу, який з певною ймовірністю покриває невідомий параметр генеральної сукупності. Інтервал, який містить оцінюваний параметр генеральної сукупності, називають довірчим інтервалом.Для його визначення обчислюють граничну похибку вибірки , дає змогу встановити граничні межі, в яких із заданою ймовірністю (надійністю) має знаходитися параметр генеральної сукупності.

Гранична похибка вибірки рівна t – разовому числу середніх похибок вибірки. Коефіцієнт t дає змогу встановити, наскільки надійне твердження про те, що заданий інтервал містить параметр генеральної сукупності. Якщо ми виберемо коефіцієнт таким, що твердження в 95% випадків виявиться правильним і тільки в 5 % - неправильним, то ми говоримо: зі статистичною надійністю в 95% довірчий інтервал вибіркової статистики містить параметр генеральної сукупності. Статистичній надійності в 95% відповідає довірча ймовірність – 0,95. В 5% випадків твердження «параметр належить довірчому інтервалу» буде неправильним, тобто 5% задає рівень значущості ( ) або 0,05 ймовірність похибки. Зазвичай в статистиці рівень значущості вибирають таким, щоб він не перевищував 5% ( ). Довірча ймовірність та рівень значущості доповнюють одне одного до 1 (або 100%) і визначають надійність статистичного твердження.

За допомогою довірчого інтервалу можна оцінити не тільки генеральну середню, але й інші невідомі параметри генеральної сукупності.

Для оцінки генеральної середньої або математичного сподівання а (M(  нормального розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою середньою  з відомим середнім квадратичним відхиленням  генеральної сукупності ( на практиці – при великому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне-випадковому повторному відборі матимемо формулу:

P( – t < < +t ) = 2 ,

де t визначається за таблицею функції Лапласа із співвідношення 2 - середнє квадратичне відхилення; n – об’єм вибірки;  = .

Для оцінки математичного сподівання a (генеральної середньої) нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибіркою середньою  з відомим середнім квадратичним відхиленням  генеральної сукупності ( при великому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне-випадковому без повторному відборі матимемо формулу:

P( – t < < +t ) = 2 ;

 = .

Для оцінки математичного сподівання a (генеральної середньої) нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибіркою середньою  з невідомим середнім квадратичним відхиленням  генеральної сукупності ( при малому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне-випадковому повторному відборі матимемо формулу:

P( – t < < +t ) = 2 ,

де t визначається за таблицею Стьюдента за надійністю  та числом ступенів свободи k=n-1; S – виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення; n – об’єм вибірки;  = .

Для оцінки математичного сподівання a (генеральної середньої) нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибіркою середньою  з невідомим середнім квадратичним відхиленням  генеральної сукупності ( при малому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне-випадковому без повторному відборі матимемо формулу:

P( – t < < +t ) = 2 ;

 = .

Для оцінки генеральної частки р нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою часткою  =  (при великому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне випадковому повторному відборі матимемо формулу:

P(  – t < p <  +t ) = 2 ,

де t визначається за таблицею функції Лапласа із співвідношення 2  - вибіркова частка; n – об’єм вибірки;  = t .

Для оцінки генеральної частки р нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою часткою  =  (при великому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне випадковому безповторному відборі матимемо формулу:

P(  – t < p <  +t )  = 2 ,

 = t  

Для оцінки генеральної частки р нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою часткою  =  (при малому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне випадковому повторному відборі матимемо формулу:

P(  – t < p <  +t ) = 2 ,

де t визначається за таблицею Стьюдента при рівні значущості  = 1-  та числом ступенів свободи k = n - 1;  = t .

Для оцінки генеральної частки р нормально розподіленої кількісної ознаки Х за вибірковою часткою  =  (при малому обсязі вибірки, тобто при n 30) та власне випадковому безповторному відборі матимемо формулу:

P(  – t < p <  +t )  = 2 ,

 = t  

Довірчий інтервал з надійністю  для дисперсії випадкової величини Х з невідомим законом розподілу:

S² - S² < D(X) < S² + , де Ф( .

Довірчий інтервал з надійністю  для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини Х:

 < D(X) < ,

де ;  – значення, взяті з таблиці розподілу .

Приклад. Випадкова величина X має нормальний розподіл з відомим σ=3. Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного очікування  по вибірковому середньому = 4,1, якщо обсяг вибірки n = 36 і задана надійність γ = 0,95.

Рішення. Довірчий інтервал: ( - ; + ), де = . Величину t знаходимо по таблиці функції Лапласа: Ф(t) = ; Ф(t)=0,475; t=1,96. Отже, =1,96 3/ =0,98.

Таким чином, значення невідомого параметра а, що відповідають узятій надійності за даними вибірки, задовольняють нерівності:

3,12< <5,08.

Зауваження. На практиці  часто невідомо. Тоді, знаючи, що  має розподіл Стьюдента, довірчий інтервал записується у вигляді:

 -S/  <  <  +S/ .

При даних  і n величину  знаходять по таблиці(Додаток).

Приклад.За результатами 23 незалежних спостережень:

Х	7,9	8,3	8,6	9,2	9,5
ni	3	4	9	5	2

нормальної випадкової величини обчислити середнє емпіричне , «виправлене» середнє квадратичне відхилення S і знайти довірчий інтервал для математичного очікування, з надійністю 0,95.

Рішення.  = (7,9 3 + 8,3 4 + 8,6  9 + 9,2  5 +9,5  2) : 23 = 8,67;

D(X) = (7,9²  3 + 8,3² 4 + 8,6² 9,2²  5 + 9,5²  2) : 23 – 8,67² = 0,224;

S =  =  = 0,483.

По таблиці розподілу Стьюдента для  = 0,95 і n = 23 знайдемо  = 2,093. За формулою  -S/  <  <  +S/  маємо:

8,67 – 2,093  0,483/  <  < 8,67 + 2,093  0,483/ .

Остаточно: 8,46 <  < 8,88.

 

Задачі для самостійної роботи:

1.За допомогою власне-випадкового повторного відбору керівництво фірми провело вибіркове обстеження 900 своїх службовців. Середній стаж їхньої роботи на фірмі становить 8,70 року, а середнє квадратичне (стандартне) відхилення – 2,70 року. Серед обстежених виявилось 270 жінок. Вважаючи стаж роботи службовців фірми розподіленим за нормальним законом, знайти: а) з імовірністю 0,95 довірчий інтервал, в якому виявиться середній стаж роботи всіх службовців фірми; б) з імовірністю 0,90 довірчий інтервал, що покриває невідому частку жінок в усьому колективі фірми.

2.За допомогою власне-випадкового повторного відбору визначається середній стаж роботи службовців фірми. Припускається, що він підкоряється нормальному закону. Яким має бути обсяг вибірки, щоб з довірчою ймовірністю 0,95 можна було стверджувати, що, приймаючи отриманий середній стаж роботи за істинний, допускається похибка, яка не перевищує 0,50 року, якщо стандартне відхилення  = 2,70 року? Яким має бути обсяг власне випадкової повторної вибірки, щоб з надійністю 0,90 можна було стверджувати, що максимальне відхилення вибіркової частки жінок у вибірці від частки жінок в усьому колективі фірми не перевищувало 0,05, якщо під час минулого аналогічного дослідження вибіркова частка жінок виявилася рівною 0,30?

3.Власник автостоянки боїться нещирості своїх службовців (охорони автостоянки). Протягом року (365 днів) власником автостоянки проведено 40 перевірок. За даними перевірок середня кількість автомобілів, що залишаються на ніч під охороною, становить 400 одиниць, а середнє квадратичне (стандартне) відхилення їх кількості – 10 автомобілів. Вважаючи відбір власне – випадковим, з імовірністю 0,99 оцінки за допомогою довірчого інтервалу істинну середню кількість автомобілів, що залишаються на ніч під охороною. Чи обґрунтовані побоювання власника автостоянки, якщо за звітністю охоронців середня кількість автомобілів, що залишаються на ніч під охороною, становить 395 автомобілів?

4.В 24 із 40 перевірок кількість автомобілів на автостоянці не перевищувала 400 одиниць. З імовірністю 0,98 знайти довірчий інтервал для оцінки істинної частки днів протягом року, коли кількість залишених на автостоянці автомобілів не перевищувала 400 одиниць.

5.За допомогою власне-випадкового без повторного відбору визначається середня кількість автомобілів, які залишаються на ніч під охороною. Припускається, що вона підкоряється нормальному закону. Яким має бути обсяг вибірки, щоб з імовірністю 0,95 можна було стверджувати, що коли приймається отримана середня кількість автомобілів у вибірці за істинну, допускається похибка, яка не перевищує 3 автомобілі, якщо середнє квадратичне відхилення  = 10 автомобілів?

6.Яким має бути обсяг власне-випадкової без повторної вибірки, щоб із ймовірністю 0,90 можна було стверджувати, що максимальне відхилення вибіркової частки днів від частки днів протягом року (коли середня кількість залишених на охорону автомобілів не перевищувала 400 одиниць) не перевищує 0,10, якщо за даними минулих перевірок вибіркова частка таких днів складала 0,60?

7.Служба контролю «Енергозбуту» провела вибіркову перевірку витрат електроенергії жителями одного з багатоквартирних будинків. За допомогою власне-випадкового відбору вибрали 10 квартир і визначили витрати електроенергії протягом одного з літніх місяців (кВт*год.): 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50; 125; 115; 112. З ймовірністю 0,94 визначте довірчий інтервал для оцінки середніх витрат електроенергії на 1 квартиру в усьому будинку за умови, що в будинку 70 квартир, а відбір був: а) повторним; б) без повторним.

 

Література

1 Медведєв М.Г., Пащенко І.О. Теорія ймовірностей та математична статистика. Підручник. – К.:Вид-во «Ліра-К». 2008. – 536 с.

2 Волковец А.И., Гуринович А.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студентов всех специальностей и форм обучения. - Минск: БГУИР, 2003.-84 с.

3 Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч. – метод.посібник у 2 ч. – Ч.I. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2005. -304 с.

4 Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч. – метод.посібник у 2 ч. – Ч.II. Математична статистика. – К.: КНЕУ, 2005. -364 с.

 

 

Додаток

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ГАУСА

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4,0	0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661   0.2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656   0.0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060   0.0040 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 0001	0,3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637   2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644   0525 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058   0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0001	0,3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2813   2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632   0519 0422 0339 0270 0213 0164 0129 0099 0075 0056   0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0001	0,3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589   2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620   0508 0410 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055   0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002 0000	0,3986 3951 3876 3765 3621 3478 3251 3034 2803 2565   2323 2083 1849 1646 1415 1219 1040 0978 0734 0608   0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053   0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 0000	0,3984 3954 3876 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541   2293 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596   0488 0396 0317 0252 0198 0154 0118 0091 0069 0051   0038 0028 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0000	0,3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516   2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584   0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050   0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0000	0,3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 3966 2732 2492   2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573   0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048   0036 0026 0019 0013 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0000	0,3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468   2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562   0459 0371 0279 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047   0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0002 0000	0,3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444   2203 1965 1736 1518 1315 1107 0957 0804 0669 0551   0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046   0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 0000

 

 

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ЛАПЛАСА

z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4,0 4,5 5,0	0,00000 0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575 0,25804 0,28814 0,31594   0,34134 0,36433 0,38493 0,40320 041924 0,43319 0,44520 0,45543 0,46407 0,47128   0,47725 0,48214 0,48610 0,48928 0,49180 0,49379 0,49534 0,49653 0,49744 0,49813   0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,49996 0,49997 0,49999	0,00399 0,04380 0,08317 0,12172 0,15910 0,19497 0,22907 0,26115 0,29103 0,31859   0,34375 0,36650 0,38686 0,40490 0,42073 0,43448 0,44630 0,45637 0,46485 0,47193   0,47778 0,48257 0,48645 0,48956 0,49202 0,49396 0,49547 0,49664 0,49752 0,49819   0,49869 0,49906 0,49934 0,49953 0,49968 0,49978 0,49985 0,49990 0,49993 0,49995	0,00798 0,04776 0,08706 0,12552 0,16276 0,19847 0,23237 0,26424 0,29389 0,32121   0,34614 0,36864 0,38877 0,40658 0,42220 0,43574 0,44738 0,45728 0,46562 0,47257   0,47831 0,48300 0,48679 0,48983 0,49224 0,49413 0,49560 0,49674 0,49760 0,49825   0,49874 0,49910 0,49936 0,49955 0,49969 0,49978 0,49985 0,49990 0,49993 0,49996	0,01197 0,05172 0,09095 0,12930 0,16640 0,20194 0,23565 0,26730 0,29673 0,32381   0,34849 0,37076 0,39065 0,40824 0,42364 0,43699 0,44845 0,45818 0,46638 0,47320   0,47882 0,48341 0,48713 0,49010 0,49245 0,49430 0,49573 0,49683 0,49767 0,49831   0,49878 0,49913 0,49938 0,49957 0,49970 0,49979 0,49986 0,49990 0,49994 0,49996	0,01595 0,05567 0,09483 0,13307 0,17003 0,20540 0,23891 0,27035 0,29955 0,32638   0,35083 0,37286 0,39251 0,40988 0,42507 0,43822 0,44950 0,45907 0,46712 0,47381   0,47932 0,48382 0,48745 0,49036 0,49266 0,49446 0,49585 0,49693 0,49774 0,49836   0,49882 0,49913 0,49940 0,49958 0,49971 0,49980 0,49986 0,49991 0,49994 0,49996	0,01994 0,05962 0,09871 0,13683 0,17364 0,20884 0,24215 0,27337 0,30234 0,32894   0,35314 0,37493 0,39435 0,41149 0,42647 0,43943 0,45053 0,45994 0,46784 0,47441   0,47982 0,48422 0,48778 0,49061 0,49286 0,49461 0,49598 0,49702 0,49781 0,49841   0,49886 0,49918 0,49942 0,49960 0,49972 0,49981 0,49987 0,49991 0,49994 0,49996	0,02392 0,06356 0,10257 0,14058 0,17724 0,21226 0,24537 0,27637 0,30511 0,33147   0,35543 0,37698 0,39617 0,41308 0,42785 0,44062 0,45154 0,46080 0,46856 0,47500   0,48030 0,48461 0,48809 0,49086 0,49305 0,49477 0,49609 0,49711 0,49788 0,49846   0,49889 0,49921 0,49944 0,49961 0,49973 0,49981 0,49987 0,49992 0,49994 0,49996	0,02790 0,06749 0,10642 0,14431 0,18082 0,21566 0,24857 0,27935 0,30785 0,33398   0,35769 0,37900 0,39796 0,41466 0,42922 0,44179 0,45254 0,46164 0,46926 0,47558   0,48077 0,48500 0,48840 0,49111 0,49324 0,49492 0,49621 0,49720 0,49795 0,49851   0,49893 0,49924 0,49946 0,49962 0,49974 0,49982 0,49988 0,49992 0,49995 0,49996	0,03188 0,07142 0,11026 0,14803 0,18439 0,21904 0,25175 0,28230 0,31057 0,33646   0,35993 0,38100 0,39973 0,41621 0,43056 0,44295 0,45352 0,46246 0,46995 0,47615   0,48124 0,48537 0,48870 0,49134 0,49343 0,49506 0,49632 0,49728 0,49801 0,49856   0,49896 0,49926 0,49948 0,49964 0,49975 0,49983 0,49988 0,49992 0,49995 0,49997	0,03586 0,07535 0,11409 0,15173 0,18793 0,00040 0,25490 0,28524 0,31327 0,33891   0,36214 0,38298 0,40147 0,41774 0,43189 0,44408 0,45449 0,46327 0,47062 0,47670   0,48169 0,48574 0,48899 0,49158 0,49361 0,49520 0,49643 0,49736 0,49807 0,49861   0,49900 0,49929 0,49950 0,49965 0,49976 0,49983 0,49989 0,49992 0,49995 0,49997

 

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ПУАССОНА:

	λ
m
	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
0	0.9048	0.8187	0.7408	0.6703	0.6065	0.5488	0.4966	0.4493	0.4066
1	0.0905	0.1638	0.2222	0.2681	0.3033	0.3293	0.3476	0.3596	0.3696
2	0.0045	0.0164	0.0333	0.0536	0.0758	0.0988	0.1217	0.1438	0.1647
3	0.0002	0.0011	0.0033	0.0072	0.0126	0.0198	0.0284	0.0383	0.0494
4	-	-	0.0002	0.0007	0.0016	0.0030	0.0050	0.0077	0.0111
5	-	-	-	0.0001	0.0002	0.0004	0.0007	0.0012	0.0020
6	-	-	-	-	-	-	0.0001	0.0002	0.0003

 

	λ
m
	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0
0	0.3679	0.1353	0.0498	0.0183	0.0067	0.0025	0.0009	0.0003	0.0001
1	0.3679	0.2707	0.1494	0.0733	0.0337	0.0149	0.0064	0.0027	0.0011
2	0.1839	0.2707	0.2240	0.1465	0.0842	0.0446	0.0223	0.0107	0.0055
3	0.0313	0.1804	0.2240	0.1954	0.1404	0.0892	0.0521	0.0286	0.0150
4	0.0153	0.0902	0.1680	0.1954	0.1755	0.1339	0.0912	0.0572	0.0337
5	0.0081	0.0361	0.1008	0.1563	0.1755	0.1606	0.1277	0.0916	0.0607
6	0.0005	0.0120	0.0504	0.1042	0.1462	0.1606	0.1490	0.1221	0.0911
7	0.0001	0.0034	0.0216	0.0595	0.1044	0.1377	0.1490	0.1396	0.1318
8	-	0.0009	0.0081	0.0298	0.0655	0.1033	0.1304	0.1396	0.1318
9	-	0.0002	0.0027	0.0132	0.0363	0.0688	0.1014	0.1241	0.1318
10	-	-	0.0008	0.0053	0.0181	0.0413	0.0710	0.0993	0.1180
11	-	-	0.0002	0.0019	0.0034	0.0225	0.0452	0.0722	0.0970
12	-	-	0.0001	0.0006	0.0013	0.0113	0.0264	0.0481	0.0728
13	-	-	-	0.0002	0.0005	0.0052	0.0142	0.0296	0.0504
14	-	-	-	0.0001	0.0002	0.0022	0.0071	0.0169	0.0324
15	-	-	-	-	-	0.0009	0.0033	0.0090	0.0194
16	-	-	-	-	-	0.0003	0.0014	0.0045	0.0109
17	-	-	-	-	-	0.0001	0.0006	0.0021	0.0058
18	-	-	-	-	-	-	0.0002	0.0009	0.0029
19	-	-	-	-	-	-	0.0001	0.0004	0.0014
20	-	-	-	-	-	-	-	0.0002	0.0006
21	-	-	-	-	-	-	-	0.0001	0.0003
22	-	-	-	-	-	-	-	-	0.0001

 

 

ТАБЛИЦЯ РОЗПОДІЛУ , x^2,

Число ступенів свободи k	Рівень значущості α
	0,01	0,02	0,05	0,95	0,98	0,99
1	6,64	5,41	3,84	0,004	0,001	0,000
2	9,21	7,82	5,99	0,103	0,040	0,020
3	11,34	9,84	7,82	0,352	0,185	0,115
4	13,28	11,67	9,49	0,711	0,429	0,297
5	15,09	13,39	11,07	1,145	0,752	0,554
6	16,81	15,03	12,39	1,635	1,134	0,872
7	18,48	16,62	14,07	2,17	1,564	1,239
8	20,10	18,17	15,51	2,73	2,03	1,646
9	21,07	19,68	16,92	3,32	2,53	2,09
10	23,20	21,2	18,31	3,94	3,06	2,56
12	26,2	24,1	21,0	5,23	4,18	3,57
14	29,1	26,9	23,7	6,57	5,37	4,66
16	32,0	29,6	26,3	7,96	6,61	5,81
18	34,8	32,3	28,9	9,39	7,91	7,02
20	37,6	35,0	31,4	10,85	9,24	8,26
22	40,3	37,7	33,9	12,34	10,60	9,54
24	43,0	40,3	36,4	13,85	11,99	10,86
26	45,6	42,9	38,9	15,38	13,41	12,20
28	48,3	45,4	41,3	16,93	14,85	13,56
30	50,9	48,0	43,8	18,49	16,31	14,95

 

 

Додаток 5

ТАБЛИЦЯ РОЗПОДІЛУ СТЬЮДЕНТА

Число ступенів свободи k	γ
	0,90	0,95	0,98	0,99
1	6,31	12,71	31,8	63,7
2	2,92	4,30	6,96	9,92
3	2,35	3,18	4,54	5,84
4	2,13	2,77	3,75	4,60
5	2,02	2,57	3,36	4,03
6	1,943	2,45	3,14	4,71
7	1,895	2,36	3,00	3,50
8	1,860	2,31	2,90	3,36
9	1,833	2,26	2,82	3,25
10	1,812	2,23	2,76	3,17
12	1,782	2,18	2,68	3,06
14	1,761	2,14	2,62	2,98
16	1,746	2,12	2,58	2,92
18	1,734	2,10	2,55	2,88
20	1,725	2,09	2,53	2,84
22	1,717	2,07	2,51	2,82
24	1,711	2,06	2,49	2,80
30	1,697	2,04	2,46	2,75
40	1,684	2,02	2,42	2,70
60	1,671	2,00	2,39	2,66
120	1,658	1,980	2,36	2,62
∞	1,645	1,960	2,33	2,58

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 388; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12345678910

---

Мы поможем в написании ваших работ!