Початкові та центральні моменти

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

Початковим моментом к – го порядку ( )випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х^к:

=М(Х^к) (к=1,2,3,…).

Для дискретної випадкової величини Х:

Центральним моментом k-го порядку ( ) випадкової величини Х називають математичне сподівання величини (Х-М(Х))^k:

(Х-М(Х))^k (k=1,2,3,…)

(Х-М(Х))=0; (Х-М(Х))²=D(X); = (Х-М(Х))³; = (Х-М(Х))⁴.

Для дискретної випадкової величини Х:

^k p_i.

Асиметрія та ексцес.

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо =0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину – коефіцієнт асиметрії:

А_s= .

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу. Ексцес обчислюється за формулою:

Е_k= – 3.

Приклад. Абітурієнт здає два вступних іспиту з математики та фізики. Скласти закон розподілу випадкової величини х, числа отриманих п'ятірок, якщо ймовірність отримання п'ятірки з математики дорівнює 0,8, а з фізики – 0,6.

Рішення. Позначимо А₁ і А₂ – події, які полягають у тому, що і математика, і фізика здані на 5. Очевидно, можливі значення х є 0, 1, 2, причому

Отримані результати зведемо в таблицю:

x_i	0	1	2
p_i	0.08	0.44	0.48

Приклад.Закон розподілу випадкової величини задано табличне. Знайти функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію і середньоквадратичне відхилення.

x_i	1	2	3	4	5
p_i	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Рішення.F(x)=

М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;

D(x)=1²*0,1+2²*0,2+3²*0,4+4²*0,2+5²*0,1-3²=1,2

σ(x)= =1,095.

Задачі для самостійної роботи:

1. Закон розподілу випадкової величини задано табличне:

x_i	0	1	2
p_i	0.08	0.44	0.48

Знайти:

а) закон розподілу у вигляді функції розподілу F(x), побудувати графіки р(х), F(x);

б) математичне сподівання;

в) дисперсію;

г) середньоквадратичне відхилення.

2.Маємо 4 заготівки для виготовлення деталей. Ймовірність виготовлення придатної деталі дорівнює 0,75. Знайти закон розподілу випадкової величини Х — кількість заготівок, що їх буде використано для виготовлення придатної деталі. Знайти F(x), M(X), D(X), М₀(Х), , , , А_s, Е_k.

3.Ймовірності того, що студент складе семестровий іспит із дисциплін А та В під час сесії, становлять відповідно 0,7 та 0,9. Скласти закон розподілу числа семестрових іспитів, які студент складе в сесію у вигляді ряду розподілу. Знайти F(x), M(X), D(X), М₀(Х), , , , А_s, Е_k.

Практична робота №8 «Основні закони розподілів дискретних випадкових величин»

Основні поняття і визначення.

Біноміальний розподіл

Ймовірність того, що в n незалежних повторних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події А рівна р(0<p<1), подія А відбудеться рівно m разів (у будь-якій послідовності), рівна за формулою Бернуллі Р_n(m)= ^m·qⁿ^-^m, де q = P( ) = 1- p.

Біноміальним називають закон розподілу дискретної випадкової величини Х– числа появи події в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події рівна з р, а ймовірність можливих значень Х=0,1,2,…,m,…,n обчислюються за формулою Бернуллі.

Для випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом, маємо:

М(Х) = n p; D(X) = .

Біноміальний закон розподілу широко використовується в теорії та практиці статистичного контролю якості продукції, під час опису функціонування систем масового обслуговування, в теорії стрільби та в інших сферах.

Розподіл Пуассона

Якщо кількість випробувань велика, а ймовірність появи події р у кожному випробуванні дуже мала, то замість формули Бернуллі використовують асимптотичну формулу Пуассона:

P_n(k) · , де λ = n · p.

Надаючи m цілих невід’ємних значень m=0,1,2,…,n, можна записати за формулою Пуассона ряд розподілу ймовірностей, який називають законом розподілу Пуассона.

Потоком подійназивається послідовність подій, які відбуваються у відповідні моменти часу. Прикладом може бути потік викликів швидкої допомоги, потік викликів на телефонну станцію, потік відмов у роботі певної системи. Потік подій називають стаціонарним, якщо його ймовірнісні характеристики не залежать від часу. Потік подій називають ординарним,якщо за малий проміжок часу ймовірність того, що відбудуться дві і більше події, мала порівняно з ймовірністю того, що за цей час проміжок часу відбудеться одна подія. Потік подій називають потоком з відсутньою післядією, якщо ймовірності подій, які відбудуться в майбутньому, не залежать від того, як вони відбувалися в минулому. Потік подій називають найпростішим,якщо для нього виконуються такі умови: стаціонарність, відсутність післядії та ординарність. Ймовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік за формулою: Р_m(t)= · , де λ – інтенсивність найпростішого потоку, тобто середнє число подій, що відбудуться за одиницю часу.

Якщо розподіл Пуассона застосовують замість біноміального, то n повинне мати порядок не менше кількох десятків, краще декількох сот, а n · p≤10.

М(Х)=D(X)=λ.

Розподіл Пуассона часто використовується, коли ми маємо справу з кількістю подій, які утворюють найпростіший потік, наприклад: кількість машин, що прибули на заправку протягом деякого часу; кількість дорожніх пригод.

Геометричний розподіл

Дискретна випадкова величина Х=m має геометричний розподіл, якщо вона набуває значень 1,2,…,m…(нескінченна але зліченна множина значень) із ймовірностями Р(Х=m) = p , де 0<p<1, q=1-p, m=1,2,…

M(X) = ; D(X) = .

Гіпергеометричний розподіл

Нехай маємо множину N елементів, з яких M елементів володіють ознакою А. Вилучається випадково, без повернення n елементів. Потрібно знайти ймовірність того що з них m елементів володіють ознакою А. Шукана ймовірність, яка залежить від натуральних чисел N, M, n, m, визначається за формулою:

P(N; m) =

Отриманий за останньою формулою ряд розподілу називається гіпергеометричним рядом розподілу.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини Х = m:

M(m) = n ; D(m) = n .

Гіпергеометричний розподіл широко використовується у практиці статистичного приймального контролю якості промислової продукції, в задачах, пов’язаних із організацією вибіркового обстеження, та інших галузях.

Приклад 1. У цеху є 5 верстатів. Імовірність того, що верстат працює, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що працюватимуть не менш як 3 верстати.

Розв’язання. Імовірність того, що працює будь-який верстат, дорівнює 0,8. Тому справджується біноміальний закон розподілу:

Р_n(Х=m)= ^m·qⁿ^-^m, m=0,1,2,…,n;

P(X ≥ 3) = P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5).

P(X ≥ 3) = 0,8³ 0,2²+ 0,8⁴ 0,2 + 0,8⁵= 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208.

Приклад 2. Визначити ймовірність потрапляння за контрольні межі не менш ніж 2 деталей із проби з 5 деталей, якщо автомат, із продукції якого беруться проби, обробляє 2 деталі за 1 хв. і за зміну у його продукції виявляється 38 деталей, які виходять за контрольні межі. Застосувати для розв’язування задачі закон розподілу Пуассона.

Розв’язання.Застосуємо формулу Пуассона: Р(Х=m)= , m=0,1,… Знайдемо λ — середню кількість бракованих деталей, які виготовляються за 1 хв. Якщо тривалість зміни 480 хв, то λ = ≈ 0,08. Пробу з 5 деталей виготовляють за t = =2,5 хв, λt = 0,08⋅ 2,5 = 0,2. Знайдемо шукану ймовірність:

Р(Х )= = 0,0175. Значення ймовірності знайдемо в таблицях при λt = 0,8 і m = 2.

Приклад 3. При виготовленні довільного виробу інструмент з імовірністю р = 0,2 може бути пошкодженим і потребуватиме заміни. Знайти математичне сподівання і дисперсію кількості виробів, які будуть виготовлені цим інструментом.

Розв’язання. Нехай випадкова величина Х — кількість деталей, виготовлених до заміни цим інструментом. Ця випадкова величина може набувати значень 0, 1, 2, …. Побудуємо закон розподілу цієї величини. Вона набуває значення, що дорівнює нулю, якщо при виготовленні першого виробу інструмент буде пошкоджено; P(X = 0) = p = 0,2. Якщо інструмент буде пошкоджено при виготовленні другого виробу, то Х = 1; P(X =1) = p(1− p). Аналогічно Р(Х=2)=р(1-р)², Р(Х=3)=р(1-р)³,…, Р(Х=к)=р(1-р)^к. Для обчислення математичного сподівання і дисперсії зіставимо здобутий закон розподілу з геометричним законом розподілу Р(Y=m)=p(1-p)^m^-1, m=1,2,… Очевидно, що X = Y −1. Скориставшись властивостями математичного сподівання та дисперсії, дістанемо:

M(X)=M(Y-1)=M(Y)-1= -1=5-1=4.

D(X)=D(Y-1)=D(Y) = = 20.

Приклад 4. Партія містить 200 виробів, серед яких 25 бракованих. Для перевірки якості з партії відібрали 10 виробів. Якщо при цьому кількість бракованих виробів не перевищує одиниці, то партія приймається. Знайти ймовірність того, що партію буде прийнято. Визначити цю саму ймовірність, якщо апроксимувати гіпергеометричний розподіл біноміальним розподілом і законом розподілу Пуассона.

Розв’язання. Застосуємо формулу гіпергеометричного закону розподілу. Партію буде прийнято, якщо кількість бракованих серед дібраних 10 дорівнюватиме нулю або одиниці.

P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= + 0,638.

Обчислимо цю саму ймовірність за допомогою формули біноміального закону розподілу, p = = :

P(X≤1)=P(X=0) + P(X=1) = +10 0,639.

Обчислимо, нарешті, цю саму ймовірність за допомогою закону розподілу Пуассона:

λ = n p =10 = 1,25.

P(X≤1)=P(X=0) + P(X=1) = + 1,25 0,644.

Як бачимо, похибки обчислення в разі апроксимації гіпергеометричного розподілу порівняно невеликі.

Задачі для самостійної роботи:

1.Відомо, що в місті Доброград 20% жителів віддають перевагу власному автотранспорту для того щоб дістатися до роботи. Випадковим чином вибрали 4 чоловіки.

а)складіть ряд розподілу числа людей у вибірці, які дістаються до роботи на власному автотранспорті, і побудуйте його графік;

б)знайдіть числові характеристики цього розподілу;

в)напишіть функцію розподілу числа людей у вибірці, які переважно дістаються до роботи на власному автотранспорті.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 411; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!