Практична робота №5 «Формула повної ймовірності. Формула Байєса»
Основні поняття і визначення.
Нехай події 
задовольняють умовам 
Æ, якщо 
, і 
.
Таку сукупність називають повною групою подій.
Нехай нас цікавить подія А може настати після реалізації одного з Hі(гіпотези) і відомі ймовірності p(Hі) p(A|Hі). В цьому випадку справедлива формула повної ймовірності
.
Приклад 1. Лиття у болванках надходить з 2-х цехів: 70% з першого і 30% - з другого. При цьому продукція першого цеху має 10% браку, а другого 20%. Знайти ймовірність того, що взята навмання болванка має дефект.
Рішення.p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цеху дефектні).
Формула Байєса.
Припустимо, що виконуються умови попереднього пункту і додатково відомо, що подія А відбулася. Знайдемо ймовірність того, що при цьому була реалізована гіпотеза Hк. За визначенням умовної ймовірності
Отримане співвідношення - це формула Байєса. Вона дозволяє за відомими (до проведення досвіду) p(Hі) і умовних ймовірностей p(A|Hі) визначити умовну ймовірність p(Hі/А), яку називають апостеріорної(тобто отриманої за умови, що в результаті досвіду подія А вже відбулася).
Приклад 2. 30% пацієнтів, які надійшли в лікарню, належать першої соціальної групи, 20% - другої і 50% - третьої. Ймовірність захворювання на туберкульоз для представника кожної соціальної групи відповідно дорівнює 0,02, 0,03 і 0,01. Проведені аналізи для випадково обраного пацієнта показали наявність туберкульозу. Знайти ймовірність того, що це представник третьої групи.
|
|
|
Рішення. Нехай H1, H2, H3 – гіпотези, які полягають у тому, що пацієнт належить відповідно першої, другої і третьої груп. Очевидно, що вони утворюють повну групу подій, причому p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. За умовою подія А, виявлення туберкульозу у хворого, що відбулося, причому умовні ймовірності за даними умови рівні p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; p(А/H3)=0,01. Апостериорную ймовірність p(H3/А) обчислюємо за формулою Байєса:
.
Розв’язуючи задачі з цієї теми, потрібно:
1)з’ясувати, в чому полягає випробування;
2)подію, ймовірність якої потрібно знайти, позначити літерою А;
3)розглянути множину попарно несумісних гіпотез Ні(і=1,2,…,n), разом з якими може відбутись подія А;
4)обчислити ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події А: P(Hi) та Р(А/Ні) (і=1,2,…,n);
5)за формулою повної ймовірності знайти ймовірність події А\ Якщо ж відомо, що подія А вже відбулася, то за формулою Байєса визначити P(Hi/А).
Задачі для самостійної роботи:
1. Ймовірність того, що при свердлуванні будуть знайдені ґрунтові води дорівнює 0,25. З ймовірністю 0,5 разом з ґрунтовими водами зустрічаються тверді породи. Якщо ґрунтових вод немає, то тверді породи зустрічаються з ймовірністю 0,8. Знайти ймовірність того, що при свердлуванні будуть знайдені тверді породи.
|
|
|
2. Ймовірність того, що вироби задовольняють вимогам стандарту, дорівнює 0,95. Пропонується спрощена система контролю, яка пропускає з ймовірністю 0,98 вироби, що задовольняють стандарту, і з ймовірністю 0,05 вироби, які стандарту не задовольняють. Знайти ймовірність того, що виріб, який пройшов цей контроль, задовольняє стандарту.
3. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.
4. Партію виготовлених деталей перевіряли два контролери. Перший перевірив 45 %, а другий — 55 % деталей. Імовірність припуститися помилки під час перевірки для першого контролера становить 0,15, для другого — 0,1. Після додаткової перевірки в партії прийнятих деталей виявлено браковану. Оцінити ймовірність помилки для кожного контролера.
5. Страхова компанія розподіляє застрахованих за групами ризику: перша група – малий ризик, друга група – середній, третя група – великий ризик. Серед клієнтів компанії 50% - першої група, 30% - другої група та 20% - третьої групи. Ймовірність виплати страхової нагороди для першої групи ризику рівна 0,01, для другої – 0,03 та для третьої – 0,08. Яка ймовірність того, що: а) застрахований отримає грошову винагороду за період страхування; б) застрахований, який отримає грошову винагороду, належить до групи малого ризику?
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 360; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!