Числові характеристики варіаційних рядів

Нехай x₁, x₂, ..., x_n – дані спостережень над випадковою величиною X.       Середнім арифметичним спостережуваних значень випадкової величини X називається приватне від розподілу суми всіх цих значень на їх число:

 (1).

Якщо дані спостережень представлені у вигляді дискретного ряду, де x₁, x₂, ..., x_n – спостережувані варіанти, а m₁, m₂, ..., m_n – відповідні їм частоти, причому , то, по визначенню,

(2).

Обчислене за формулою середнє арифметичне називається зваженим, так як частоти m_i називаються вагами, а операція множення на x_i на m_і – зважуванням.

Для інтервального варіаційного ряду за x_і приймають середину i-го інтервалу, а за m_і - відповідну інтервальну частоту:

(3).

Основні властивості середнього арифметичного:

1. Середнє арифметичне алгебраїчної суми відповідних один одному значень дорівнює алгебраїчній сумі середніх арифметичних:

.

2. Якщо ряд спостережень складається з двох роз'єднаних груп спостережень, то середнє арифметичне всього ряду спостережень одно зваженого середнього арифметичного групових середніх, причому вагами є обсяги відповідних груп:

3. Середнє арифметичне постійної дорівнює самій сталій:

4. Постійну можна виносити за знак середнього арифметичного:

5. Сума відхилень результатів спостережень від середнього арифметичного дорівнює нулю:

6. Якщо всі результати спостережень збільшити (зменшити) на одне і те ж число, то середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те саме число:

7. Якщо всі частоти варіантів помножити на одне і те ж число, то середнє арифметичне не зміниться.

 

Вибірковою дисперсією значень випадкової величини X називається середнє арифметичне квадратів відхилень спостережуваних значень цієї величини від їх середнього арифметичного:

(4).

Якщо дані спостережень представлені у вигляді дискретного ряду, де x₁, x₂, ..., x_n – спостережувані варіанти, а m₁, m₂, ..., m_n – відповідні їм частоти, причому , то вибіркова дисперсія визначається за формулою:

(5).

Використовуючи рівність , останню формулу можна представити у вигляді:

 (6).

Дисперсія, обчислена за формулами 5 та 6, називається зваженою вибірковою дисперсією.

Основні властивості вибіркової дисперсії:

1. Дисперсія постійної дорівнює нулю:

2. Якщо всі результати спостережень збільшити (зменшити) на одне і те ж число С, то дисперсія не зміниться: .

3. Якщо всі результати спостережень помножити на одне і те ж число С, то має місце рівність:

.

4. Якщо всі частоти варіантів помножити на одне і те ж число, то вибіркова дисперсія не зміниться.

5. Вибіркова дисперсія дорівнює різниці між середнім арифметичним квадратів спостережень над випадковою величиною X і квадратом її середнього арифметичного:

.

Приклад 1. За даними, наведеними у таблиці, обчислити середнє арифметичне і дисперсію кількості неправильних з'єднань в хвилину.

Індекс	i	1	2	3	4	5	6	7
Число неправильних з'єднань в хвилину	xi	0	1	2	3	4	5	7
Частота	mi	8	17	16	10	6	2	1
частість		8/60	17/60	16/60	10/60	6/60	2/60	1/60

Рішення. Середнє арифметичне обчислимо за формулою 2:

Дисперсію обчислюємо за формулою 5:

Приклад 2. За даними, наведеними у таблиці, обчислити середнє арифметичне і дисперсію діаметра валика.

Рішення. Середнє арифметичне обчислимо за формулою 3:

Дисперсію обчислимо за формулою 6:

 

Медіаною (Ме(Х))варіаційного ряду називають таке значення ознаки, яке припадає на середину ранжируваного ряду. Якщо кількість варіант непарна, то матимемо одне серединне значення, рівне медіані Ме(Х)=х_g; а якщо кількість варіант парна, то на середину припадуть два значення варіант, і тоді

Ме(Х) = .

Для інтервального варіаційного ряду спочатку знаходять медіанний інтервал ( інтервал, який містить серединне значення ознаки), а медіана на ньому визначається за формулою:

Ме(Х)=х₀ + h· ,

де  х₀ – початок медіанного інтервалу; h – ширина медіанного інтервалу; n – сума всіх частот ряду або об’єм ряду; f_me-1 – частота, накопичена до початку медіанного інтервалу; n_me – частота медіанного інтервалу.

Модою (Мо(Х))для дискретного варіаційногоряду називають таке значення варіанти, що має найбільшу частоту. Для інтервального варіаційного ряду спочатку знаходять модальний інтервал (з найбільшою частотою), а моду на ньому визначають за формулою:

М₀(Х)=х₀ + h· ,

де х₀ – початок модального інтервалу; h – ширина модального інтервалу; –частота інтервалу, що передує модальному; - частота наступного за модальним інтервалу; - частота модального інтервалу.

Коливніть досліджуваної ознаки можна охарактеризувати за допомогою різних показників варіації. До основних показників варіаціївідносять: дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Середнє квадратичне відхилення (Х) розраховується за формулою:

(Х)= .

Коефіцієнт варіації V(X)визначається за формулою:

V(X) = ·100%.

Початкові емпіричні моменти.Середнє зважене значення варіант у степені k (k=1,2,3,…) називають початковим емпіричним моментом k­-го порядку , який обчислюється за формулою

= .

При k=1 дістанемо початковий момент першого порядку:

= = .

При k=2 дістанемо початковий момент другого порядку:

= .

D(X)=  – .

Центральні емпіричні моменти k – го порядку.Середнє зважене відхилення варіант у степені k (k=1,2,3,…) називають центральним емпіричним моментом k­-го порядку, який обчислюється за формулою

= .

При k=1 дістанемо:

= .

При k=2 обчислимо початковий момент другого порядку:

= .

На практиці найчастіше застосовуються центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків, що обчислюються за формулами:

 

= ,

= .

Коефіцієнт асиметрії = .

Ексцес Е_k =  – 3. Е_к використовується при дослідженні неперервних ознак генеральних сукупностей, оскільки він оцінює крутизну закону розподілу неперервної випадкової величини порівняно з нормальним.

Емпіричною функцією розподілу( або функцією розподілу вибірки) називають функцію аргументу х, що визначає відносну частоту події Х<х:

F^*(x)=W(X<x)=w_x^нак = ,

де - кількість варіантів варіаційного ряду, що менші за х, n – обсяг вибірки.

Емпірична функція розподілу має такі властивості:

1)0 F^*(x) 1;

2) F^*(x) зростаюча функція;

3) F^*(x)=

де Х₁ – найменша варіанта, Х_m – найбільша варіанта.

 

Задачі для самостійної роботи:

1.Знайти емпіричну функцію розподілу за даним варіаційним рядом і зобразити її графік. Побудувати полігон та комуляту цього розподілу.

хі	1	4	6
ni	10	15	25

2.При обстеженні 50 членів сімей робітників та службовців встановлено такі статичні дані про кількість членів цих сімей: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4.

1)Складіть варіаційний ряд розподілу частот.

2)Побудуйте полігон розподілу частот, комуляту.

3)Визначте середній розмір (середню кількість членів) сім’ї.

4)Охарактеризуйте коливніть розміру сім’ї за допомогою показників варіації (дисперсії, середнього квадратичного відхилення, коефіцієнта варіації).

5)Визначте моду та медіану.

3.Маємо такі статистичні дані про річну потужність підприємств цементної промисловості у 2015 році:

Річна потужність підприємств, тис. т	Кількість підприємств
До 500	27
500-1000	11
1000-2000	8
2000-3000	8
Більше 3000	2

 

1)Побудуйте гістограму, полігон та комуляту даного інтервального варіаційного ряду.

2)Розрахуйте середню потужність підприємств.

3)Знайдіть дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

4)Визначте моду, медіану.

4.Для того, щоб вивчити зміну виробітку на одного робітника механічного цеху у звітному році порівняно з попереднім, спеціалісти цеху згрупували дані про розподіл 100 робітників цеху за виробітком у звітному році (у відсотках до попереднього року) і результати подали у вигляді таблиці:

№	Виробіток у звітному році у відсотках до попереднього х	Частота (кількість робітників) ni	Частість wi	Накопичена частота fi	Накопичена частість wiнак
1	94,0-100,0	3	0,03	3	0,03
2	100,0-106,0	7	0,07	10	0,10
3	106,0-112,0	11	0,11	21	0,21
4	112,0-118,0	20	0,20	41	0,41
5	118,0-124,0	28	0,28	69	0,69
6	124,0-130,0	19	0,19	88	0,88
7	130,0-136,0	10	0,10	98	0,98
8	136,0-142,0	2	0,02	100	1,00
		100	1,00

1)Побудувати гістограму, полігон, комуляту та емпіричну функцію розподілу робітників за виробітком.

2)Знайти моду та медіану розподілу робітників за виробітком.

3)Обчислити середнє значення виробітку у відсотках до попереднього року, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт асиметрії та ексцес даного варіаційного ряду.

 

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 535; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!