Задачи для самостоятельного решения

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Задание 1. Исследуется работа станции технического обслуживания автомобилей с отказами. Станция имеет в своем распоряжении четыре подъемника. На станцию поступает простейший поток заявок с интенсивностью 3 автомобилей в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и характеризуется средней продолжительностью 2 часа на автомобиль. Требуется построить граф состояний и определить числовые характеристики функционирования станции за восьмичасовой рабочий день.

Задание 2. В зону текущего ремонта в среднем поступает 8 единиц техники в день. Известно, что отказы распределены следующим образом: 35% – двигатель и трансмиссия, 40% –подвеска, 25% – прочие отказы. Зона в своем распоряжении имеет 3 поста, по одному на каждый вид отказа. Известно, что средняя продолжительность устранения отказов распределена так: двигатель и трансмиссия – 5 часов, подвеска – 3,5 часа, прочие отказы – 2 часа. Определить оптимальное число постов текущего ремонта с учетом того, чтобы отказов было не более 5%.

Задание 3. Исследуется функционирование станции мойки автомобилей, работающей с отказами. На станцию поступает простейший поток автомобилей с интенсивностью 3 автомобиля в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и характеризуется временем равным 20 минут. Требуется определить число мест мойки, при котором только 8% машин получат отказы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
«Многоканальная СМО с ожиданием»

Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности многоканальной модели массового обслуживания с ожиданием.

Теоретическая часть

Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями l и m соответственно; параллельно обслуживаться могут не более n клиентов. Система имеет n каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/m.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

S₀ – все каналы свободны;

По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью λ, по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний, интенсивность которого равна µ, умноженному на число занятых каналов.

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: .

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам.

Вероятность того, что все посты свободны:

при неограниченной длине очереди:

(0.1)

при длине очереди ограниченной числом m:

; (0.2)

вероятность отказа система (все посты заняты, все места в очереди заняты):

; (0.3)

вероятность того, что занято k постов и r постов ожидания:

;(0.4)

;(0.5)

среднее число заявок в очереди:

, (0.6)

где ;

среднее число занятых каналов:

(0.7)

складывая среднее число заявок в очереди и среднее число занятых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

; (0.8)

среднее время ожидания заявки в очереди:

; (0.9)

средняя продолжительность пребывания заявки в системе:

t_сист = +1/m.. (0.10)

Рассмотрим пример многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Типовая задача

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих и мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность l = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t_об = 0,5 суток. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: