Задача для самостоятельного решения

МиНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ образовательное учреждение высшего профессионального образования

«тюменский государственный нефтегазовый университет»

Институт Транспорта

Кафедра сервиса автомобилей и технологических машин

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория массового обслуживания» для студентов всех форм обучения специальности 190600.62 – «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»

Тюмень

ТюмГНГУ

2012

Утверждено редакционно-издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: Сергиенко Е.В., к.т.н., доцент;

«Тюменский государственный нефтегазовый университет», 2012 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания». 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 «Одноканальная СМО с ожиданием». 8

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «Многоканальная СМО с отказами». 12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 «Многоканальная СМО с ожиданием». 16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «СМО с ограниченным временем
ожидания». 20

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 22

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 22

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ. 22

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Теория массового обслуживания» относится к дисциплинам по выбору и имеет своей целью: обучение студентов методам организации систем массового обслуживания, направленных на повышение эффективности использования станций технического обслуживания автомобильного транспорта.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

знанием программно-целевых методов и методик их использования при анализе и совершенствовании производства (ПК-12);

знанием состояния и направлений использования достижений науки и практики в профессиональной деятельности (ПК-13);

знанием методик эффективной организации работы предприятий эксплуатационного комплекса (ПК-14);

знанием специальной литературы и других информационных данных (в том числе на иностранном языке) для решения профессиональных задач (ПК-15);

знанием методов теоретического и экспериментального исследования с использованием современных методов планирования эксперимента, средств вычислительной техники (ПК-28);

знанием организационной структуры, методов управления и регулирования, критериев эффективности применительно к конкретным видам транспортных и технологических машин (ПК-30);

знанием и умением использования компьютерной техники и основ информатики при учете и оценке экономической эффективности выполняемой работы, расходовании материалов и средств предприятия (ПК-41);

способностью использовать методы инженерных расчетов и принятия инженерных и управленческих решений (ПК-44);

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

теорию массового обслуживания как особый способ познания реальных процессов, протекающих в различных системах;

методы математического моделирования;

Уметь:

проводить анализ простейших данных и их обработку;

использовать методы и модели теории массового обслуживания в транспортных и технологических системах;

создавать математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

рассчитывать вероятностные модели для конкретных процессов и методы расчета параметров модели.

Владеть:

навыками расчета систем массового обслуживания;

методами моделирования транспортно-технологических машин с точки зрения теории массового обслуживания.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
«Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания»

Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности одноканальной модели массового обслуживания

Теоретическая часть

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительности обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

f₁(t) = le^-^l^t, (0.1)

)

где l – интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

f₂(t) = me^-^m^t, (0.2)

где m – интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Пусть система работает сотказами. Необходимо определить, абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в видеграфа (рис. 2.1), у которого имеются два состояния: S₀ – канал свободен (ожидание); S₁ – канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 0.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний:

P₀(t) – вероятность состояния «канал свободен»;

P₁(t) – вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис. 2.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

. (0.3)

Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия P₀(t) + P₁(t) = 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

(0.4)

P₁(t) = 1 – P₀(t). (0.5)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P₀ – вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P₀(t),т.е.

q = P₀(t). (0.6)

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

, (0.7)

где q – относительная пропускная способность(доля обслуженных заявок от общего их количества, поступающего в систему).

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

(0.8)

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

(0.9)

Данная величина P_отк может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.

Типовая задача

Пример 1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания t_об=1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются простейшими. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Р_отк. Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

авто/час .

2. Вычислим относительную пропускную способность:

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

А = lq = 1×0,356 = 0,356 авто.

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

4. Вероятность отказа:

P_отк = 1 - q = 1 - 0,356 = 0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

5. Определим номинальную пропускную способность системы:

(автомобилей в час).

Оказывается, что А_ном в 1,5 раза (0,555/0,356 » 1,5) больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Задача для самостоятельного решения

Задание. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телефонном ателье поступают с интенсивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_o₆=2 мин.

Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
«Одноканальная СМО с ожиданием»

Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности многоканальной модели массового обслуживания

Теоретическая часть

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис. 0.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ «канал свободен»;

S₁ «канал занят» (очереди нет);

S₂ – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S_k – «канал занят» (k-1 заявокстоит в очереди);

S_m₊₁ – «канал занят» (m заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

(0.10)

где – приведенная интенсивность (плотность) потока;

Тогда вероятность что занят 1 канал и к-1 мест в очереди:

Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать m), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки;

; (0.11)

относительная пропускная способность системы:

; (0.12)

абсолютная пропускная способность:

А = ql; (0.13)

среднее число заявок, находящихся в очереди:

; (0.14)

среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

(0.15)

среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):

; (0.16)

среднее время пребывания заявки в системе:

Т_сист.= Т_ож. + t_об; (0.17)

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. (0.18)

Если имеется неограниченное число мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Типовая задача

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность l = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение.

Интенсивность обслуживания автомобилей:

.(авто/час)

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей l и m, т. е.

Вычислим предельные вероятности системы:

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

P_отк = P₄ = r⁴×P₀ » 0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q = 1 - P_отк= 1 - 0,158 = 0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики

А = lq = 0,85 × 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся в системе – среднее число заявок, находящихся в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

Среднее время пребывания автомобиля в системе складывается из среднего времени ожидания в очереди и продолжительности обслуживания (если заявка принята к обслуживанию):

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р_отк = 0,158).

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 744; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!