Задачи для самостоятельного решения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Задание 1. Вспомним о ситуации, рассмотренной в задаче 1, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

· вероятности состояний системы (поста диагностики);

· среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

· среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

· среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

· среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Задание 2. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 0,4 часа. Составы, прибывшие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеются три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, в очередь на внешний путь. Все потоки событий – простейшие. Найти:

· среднее число составов, ожидающих очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

· среднее время ожидания состава в парке прибытия и на внешних путях;

· среднее время нахождения состава на сортировочной станции (включая ожидание и обслуживание);

· вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
«Многоканальная СМО с отказами»

Цель работы: приобрести навыки, ознакомится с различными методами расчета производительности многоканальной модели массового обслуживания с отказами

Теоретическая часть

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно,модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока l, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/m. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 2.3.

Рис. 0.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят один канал, остальные свободны;

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

S_n – заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Формулы для вычисления вероятностей P_k называютсяформулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

вероятность того, что все посты свободны:

                                                 ;                                        (0.19)

вероятность отказа:

                                                 ,                                       (0.20)

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Величина P_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q) дополняет Р_отк до единицы:

                                                  ;                                         (0.21)

абсолютная пропускная способность:

                                                     A = lq;                                            (0.22)

среднее число каналов, занятых обслуживанием следующее:

                                          .                                 (0.23)

Величина характеризует степень загрузки СМО.

Типовая задача

Пример. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность l = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения:

· вероятности состояний ВЦ;

· вероятности отказа в обслуживании заявки;

· относительной пропускной способности ВЦ;

· абсолютной пропускной способности ВЦ;

· среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

1. Определим параметр m. потока обслуживаний:

2. Приведенная интенсивность потока заявок

3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (27):

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

P_отк = P₃ = 0,180.

5. Относительная пропускная способность ВЦ

q = 1 – Pотк = 1 – 0,180 = 0,820.

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

А = lq = 1×0,820 = 0,820.

7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р₃ = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных l и m можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т. е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (28):

Составим следующую таблицу:

n	1	2	3	4	5	6
Р₀	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P_отк	0,643	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях l и m 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при n = 6 вероятность отказа в обслуживании (P_отк) составляет 0,0078.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 451; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!