Найпростіші рухи твердого тіла

А) Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

1. Шків обертається рівномірно навколо нерухомої осі. Швидкість точки А шківа 0,18 м/с, а її відстань від осі обертання 0,03 м. Знайти кут, на який повернеться шків за одну хвилину, а також швидкість і прискорення точки В шківа, відстань якої від осі дорівнює 0,12 м.

 Відп.: φ = 360 рад; ν_В = 0,72 м/с; а_В= 4,32 м/с².

 

2. Вал обертається із сталим кутовим прискоренням ε = π/4 рад/с². За перші 12 с він зробив 39 обертів. Знайти кутову швидкість вала в початковий момент і в кінці 20-ї секунди.

 Відп.: ω₀ = 5π рад/с ; ω = 10 π рад/с.

 

3. Маховик після пуску в хід обертається рівноприскоренно з кутовим прискоренням ε = 5π рад/с². Визначити кутову швидкість маховика в кінці  10-ї секунди після початку руху і число обертів, яке зробив маховик за цей час.

 Відп.: ω =50π  рад/с; N = 125 обертів.

Приклад

Гребний гвинт судна, що мав кутову швидкість ω₀ = 20π рад/с, зупиняється через 20 с внаслідок опору води і тертя в підшипниках. Вважаючи обертання гвинта рівнозмінним, визначити прискорення і число обертів гвинта до зупинки.

Розв’язання

Тому що обертання гвинта є рівнозмінним, користуємося відповідними формулами, тобто, прийнявши φ₀=0, маємо:

ω=ω₀+εt;

φ= ω₀t+ .

Відповідно до умов завдання одержимо:

0=ω₀+εT;

φ= ω₀T+ .

де Т – час обертання гвинта до зупинки.

Звідси знайдемо:

ε =        = π рад/с²;

φ =  = 200 π рад.

У процесі обертання ω і ε мають різні знаки, тому обертання є сповільненим.  До зупинки гвинт зробив:

 

N = φ/2π = 100 обертів.

 

 Відповідь: N = 100 обертів.

 

Б) Перетворення найпростіших рухів тіла

4. Шків В і вал С жорстко з’єднані між собою і насаджені на одну вісь (рис. 21). Через шків В і А перекинутий нескінченний пас, а на вал С намотана мотузка, до кінця якої прикріплений вантаж М. Шків А обертається із сталим кутовим прискоренням ε = 2 рад/с² без початкової кутової швидкості. Радіуси шківів А, В і вала С відповідно дорівнюють 10 см, 20 см і 5 см. Знайти рівняння руху вантажу М.

 Відп.: h =5/2 t²см.

5. Під час обертання рукоятки О₁А домкрата (рис. 22) частини його механізму приходять у рух і зубчаста рейка переміщається по вертикалі. З якою кутовою швидкістю треба обертати рукоятку домкрата, щоб рейка ВС переміщалася зі швидкістю 0,5 см/с?  Числа зубців шестерень:  z₁ = 5,  z₂  = 20, z₃ = 5,  z₄ = 25. Радіус 5-ї шестерні r₅ = 3 см.

 Відп.: ω = 3,33 рад/с.

2.

                   Рис. 21                                                       Рис. 22

Рекомендації до розв’язання задач

При розв’язанні задач на перетворення найпростіших рухів  твердого тіла рекомендується така послідовність дій:

1) виходячи з умови задачі, виписати рівняння руху або інші кінематичні співвідношення для того твердого тіла, рух якого відомо;

2) користуючись формулами кінематики точки і кінематики обертання твердого тіла навколо нерухливої осі, знайти рівняння руху іншого твердого тіла, якому передається рух, а також знайти швидкості і прискорення різних точок цього твердого тіла, використовуючи точки дотику ланок механізму.

 

Приклад 1

Зубчасте колесо І перебуває в зовнішньому зчепленні із зубчастим колесом ІІ. Перше колесо має діаметр D₁ = 400 мм і обертається з кутовою швидкістю ω₁ = π сек^-1 навколо нерухливої осі O₁. Визначити кутову швидкість другого колеса, якщо його діаметр дорівнює D₂ = 320 мм і воно обертається навколо нерухливої осі O₂.

 

Дано:

D₁ = 0,4 м

D₂= 0,32 м

ω₁ =π сек^-1

 

ω₁ - ?

 

 

Розв’язання

 

У місці зчеплення зубців обох коліс швидкості точок першого і другого коліс однакові. Позначаючи величину цієї швидкості, маємо:

 

V= = .

Отже:

₌ ,

тоді:

ω₂=  =  =0,125 π.

Якщо колеса перебувають у зовнішньому зчепленні, то їхні кутові швидкості спрямовані в протилежні сторони: колесо І обертається проти годинникової стрілки, тому колесо ІІ обертається за годинниковою стрілкою.

Відповідь:ω₂=0,125 π.

Приклад 2.

 

 На обід колеса з горизонтальною віссю намотаний ланцюг, до якої підвішено якір . У якийсь момент часу якір починає падати з прискоренням , приводячи в обертання колесо. Знайти повне прискорення точок обода колеса, коли якір опуститься на висоту . Радіус колеса  (початкова швидкість якоря дорівнює нулю).

Прискорення будь-якої точки ланцюга, наприклад точки , належить і ободу колеса, яке робить обертальний рух і для якої прискорення якоря буде обертальним прискоренням, тому:

,

звідси:

.

Оскільки кутове прискорення стале, то обертання колеса рівноприскорене, отже, . За умовою , тому:

.

Кут повороту дорівнює:

.

Щоб визначити час опускання якоря, скористуємося співвідношенням . Підставляючи відповідні величини, маємо . Звідси .

У момент часу  кутова швидкість колеса дорівнює: . Тому для доосьового прискорення точки  маємо:

.

Отже, повне прискорення точки  колеса дорівнює:

Відповідь: .

Плоский рух твердого тіла

а) Швидкість точок тіла (плоскої фігури).

1. Колесо котиться без ковзання по площині, нахиленій під кутом α = 30° до горизонту. Швидкість центра О колеса ν₀ = 2 м/с. Визначити швидкості кінців горизонтального діаметра і показати їх.

 Відп.: ν₁ = 3,46 м/с; ν₂  = 2 м/с.

2. Через блоки А і В перекинуто мотузку (рис. 23). Кінець А₁ переміщається зі швидкістю 0,2 м/с. Обчислити кутові швидкості блоків А і В, якщо радіус кожного блока дорівнює 0,08 м.

 Відп.: ω_А = 5/2 с^-1; ω_В = 5/4 с^-1.

3. Повзун С може переміщатися уздовж прямої, що перетинає вісь обертання О₁ ланки ВD (рис. 24). ОА = 0,24 м, АВ = 0,5 м, О₁В = 0,2 м. О₁D = 0,3 м, DС = 0,6 м. Визначити кутові швидкості ланок АВ, ВD, DС і швидкість повзуна С, в момент, коли α = 90°, якщо при цьому β = 60°, γ = 90°, а кутова швидкість балансира ОА дорівнює 3 с^-1.

 Відп.: ω_АВ = 0,831 с^-1, ω_BD = 4.16 c^-1; ω_DC = 1,04 c^-1; ν_C = 1,394 м/с.

 

б) Прискорення точок тіла (плоскої фігури).

4. Колесо радіуса 0,4 м котиться без ковзання по прямолінійній рейці вправо. Швидкість центра С колеса в певний момент 1 м/с, прискорення 2 м/с². Визначити швидкість 1 прискорення точки М горизонтального радіуса колеса, якщо СМ = 0,2 м і точка М розміщена в цей момент справа від центра.

 Відп.: ν_М = 1,12 м/с; а_М = 1,25 м/с².

 

                           

 

               Рис. 23                                                                    Рис. 24

 

5. Кривошип ОА довжиною 0,1 м (рис. 25) обертається навколо нерухомої осі О із сталою кутовою швидкістю 4π с^-1. Він приводить у рух шатун АВ довжиною 0,4 м. Визначити прискорення повзуна В у момент, коли він займе крайнє праве положення.

 Відп.: а_В = 2π² м/с².

 

Рис. 25

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 969; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!