Координати центра ваги твердого тіла

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

1. Визначити положення центра ваги площі фігури (рис. 13), що складається з квадрата і рівностороннього трикутника зі сторонами а.

Відп.: х_с = а/2; у_с = 0,738а.

Рис. 13

2. Знайти положення центра ваги площі фігури (рис. 14). Розміри подано в сантиметрах.

Відп.: x_c = 5,6 cм.

Рис. 14

3. Знайти координати центра ваги пластинки (рис. 15), розміри якої подано в сантиметрах.

Відп.: х_с=3,7 см; у_с= 7,7 см.

Рис. 15

4. Визначити положення центра ваги ферми, що складається з дев'яти однорідних стрижнів (рис. 16).

Відп.: х_с= 1,414а см; у_с= 0,443а см.

Рис. 16

5. Визначити положення центра ваги транспортира (рис. 17), розміри якого а = 14 см, b = 3 см, R = 6 см, r = 4 см.

Відп.: х_с = 0; у_с = 0,522 см.

Рис. 17

6. Судно водозаміщенням 9000 т. Має центр ваги в точці з координатами х_с = -4,2 м; у_с = 0; z_с= 8,4. (Вісь ох напрямлена у ніс, вісь оу – до лівого борту, вісь оz – вгору). З судна забрали частину вантажу масою 300 т, координати центра ваги якого х₁ = 6 м; у₁ = 0,8 м; z₁= 6 м. Визначити нові координати центра ваги судна.

Відп.: х₂ =-4,55 м, у₂ =- 0,03 м, z₂= 8,5 м.

Рекомендації до розв’язання задач

При розв’язанні задач на визначення положення центра ваги однорідного твердого тіла істотну роль відіграє вдалий вибір осей координат.

Якщо у твердому тілі є площина симетрії, то одну з осей координат, наприклад x, варто напрямити перпендикулярно до цієї площини, тому що центр ваги лежить у площині симетрії, тобто в площині ху, і залишається визначити тільки дві координати.

Якщо у твердому тілі є вісь симетрії, то одну з координатних осей, наприклад y, варто сполучити з віссю симетрії, тому що центр ваги лежить на осі симетрії, тобто на осі х і залишається визначити тільки одну координату.

Найпоширенішим прийомом розв’язання таких задач є уявне розбиття однорідного твердого тіла на такі частини, положення центра ваги кожної з яких відомі, або легко може бути визначено.

Приклад

Визначити положення центру ваги площини плоского перерізу, який має вертикальну вісь симетрії. Розміри плоскої фігури задані в метрах.

Знайти: Х_С, Y_С.

Рис. 18

Розв’язання

Координати центра ваги площі:

Х_С = ;

У_С = .

Визначимо площу фігури, яка складена з трикутника F₁ і прямокутника F₂:

S₁ = ah = ∙0,2∙0,38 = 0,038 м² – площа трикутника;

S₂ = 0,18∙0,15 = 0,027 м² – площа прямокутника.

Центри ваги фігур:

трикутника Х₁ = 0,190 м, Y₁ = 0,2167 м;

прямокутника Х₂ = 0,19 м, Y₂ = 0,075 м.

номер фігури	S_і, м²	Х_і, м	Y_і, м
1	0,038	0,190	0,2167
2	0,027	0,0190	0,075
сума	0,065

Х_С = = = 0,190 м;

Y_С = = = 0,1578 м.

Відповідь: Х_С = 0,19 м; Y_С = 0,1578 м.

Сила тертя ковзання. Формула Ейлера

1. На нерухомий циліндр (кнехт) намотано канат, до одного кінця якого прикладено натяг судна силою . Скільки разів треба обмотати канат навколо кнехта, щоб натяг каната можна було утримати силою , прикладеною до другого кінця каната?

Кінці канату паралельні (рис. 19) коефіцієнт тертя каната по кнехту дорівнює μ.

Рис. 19

Приклад

Коли судно швартується, матрос накладає канат вісімкою на 2 чавунних стовпа (2 кнехта). Натяг канату дорівнює , сила, з якою матрос тримає канат у рівновазі, дорівнює . Кут охоплення канатом кожного стовпа дорівнює 210⁰. Коефіцієнт тертя каната по чавунному стовбу дорівнює μ = 0,15.

Визначити натяг канату, який матрос може утримати силою F = 600 Н.

Дано:

F = 600 Н;

α = 210⁰;

μ = 0,15.

Q =?

Рис. 20

Кут охоплення канатом одного стовпа дорівнює

При накладенні трьох вісімок кут охоплення канатом стовбів буде у шість разів більше, тобто 7π.

Тоді залежність натягів двох кінців каната визначається за формулою Ейлера.

Логарифмуючи, знаходимо шуканий коефіцієнт тертя між канатом та чавунним стовбом:

звідки маємо:

Отже. При відомих значеннях μ і F маємо:

і Q = 27 600 =16200 Н.

Відповідь: Q =16200 Н.

КІНЕМАТИКА

Кінематика точки

а) Рівнозмінний рух точки по прямій

1. Точка, рухаючись прямолінійно, пройшла шлях Ѕ = 200 м протягом 10 с, маючи прискорення 0,01 м/с². Визначити швидкості точки: початкову, кінцеву, середню.

Відп: ν₀=15 м/с; ν_к=25 м/с; ν_ср=20 м/с.

2. Санки спускаються з гори прямолінійно без початкової швидкості і проходять за 0,5 хв. шлях 200 м. Визначити прискорення санок, вважаючи його сталим, і швидкість у кінці шляху.

Відп.: а = 0,44 м/с² ; ν =13,33 м/с.

б) Довільний рух точки

3. Судно рухається прямолінійно відповідно до рівняння: s = 4t³ м. Знайти середню швидкість і середнє прискорення судна за час від t₁ = 1 с до t₂ = 3 с.

Відп.: ν_ср = 52 м/с ; а_ср= 48 м/с².

4. Задано рівняння руху точки: х = 20 cos²t; y = 30 sin² t, де x, y – в м; t – в с.

Визначити рівняння траєкторії точки, її швидкість і прискорення в момент часу t = π/2 с.

Відп.: х/20 + у/30 =1; ν = 0; а =72,1 м/с².

5. Точка рухається відповідно до рівнянь: х = 3 t²;

у = 6 t; де x, y – в м; t – в с.

Знайти швидкість і прискорення точки.

Відп.: ν = 6 + t²м/с; а = 6 м/с²; cos (ν,x) = t/ +t² ; cos (ν,x) =1/ + t²;

cos(a,x)=1; cos(a,y)=0.

6. Судно рухається згідно з рівнянням:

Визначити величину початкової швидкості судна.

Відп.: .

Приклад 1

Визначити відстань і пройдений шлях для моменту часу Т = 5 с, якщо точка М рухається з постійною швидкістю v = 80 см/с по колу, заданому рівнянням (х, y — у см)

х² + y² = 2500,

у напрямку ходу годинникової стрілки. Початок відліку відстаней у точці А(50;0). Початкове положення точки М₀ (—50; 0).

Розв’язання

Траєкторія руху точки – крива лінія (коло). Рух точки по цій траєкторії з постійною швидкістю описується рівнянням:

s = s₀ +V₀t.

Відлік відстаней починається в точці А, а рух починається з точки М₀, отже:

s₀=АМ₀ = πR = 3, 14 50 = 157 см.

і рівняння руху в цьому випадку прийме вигляд:

s = 157 + 80t (s — у см, t — у с).

За 5 с руху точка пройде шлях:

80 5 = 400 см,

і виявиться в положенні М на відстані:

s = 157 + 400 — 2πR = 557 — 314 = 243 см,

від точки А, причому спочатку ця відстань збільшується від 157 до 314 см (точка М підійшла до А з іншої сторони), потім, при другому обході, від 0 до 557 — 314 = 243 см (дуга АМ_оМ на рис.).

Важливо помітити, що при розглянутому криволінійному русі точки модуль швидкості не змінюється, а напрямок вектора швидкості змінюється.

Відповідь: s =243 см.

Приклад 2

Судно від причалу рухається по курсу прямолінійно, збільшуючи свій шлях пропорційно кубові часу: в секундах, в метрах. Протягом першої хвилини воно пройшло шлях . Знайти швидкість і прискорення при .