Задачи математического анализа

Содержание

1. Введение
2. Вводная лабораторная работа

Раздел 1
3. Лабораторная работа №1. Задачи линейной алгебры
4. Лабораторная работа №2. Задачи математического анализа
5. Лабораторная работа №3. Дифференциальные уравнения
6. Лабораторная работа №4. Задачи теории вероятностей и математической статистики

Раздел 2
7. Лабораторная работа №1. Решение задач линейного программирования
8. Задания для лабораторной работы №1
9. Лабораторная работа №2. Решение транспортных задач
10. Задания для лабораторной работы №2
11. Лабораторная работа №3. Модель межотраслевого баланса Леонтьева
12. Задания для лабораторной работы №3
13. Лабораторная работа №4. Парная линейная регрессия
14. Задания для лабораторной работы №4
15. Лабораторная работа №5. Нелинейная регрессия общего вида
16. Задания для лабораторной работы №5
17. Лабораторная работа №6. Множественная полиномиальная регрессия
18. Задания для лабораторной работы №6

19. Литература

Введение

В середине 80-ых годов фирма Mathsoft Inc. разработала новую математическую систему MathCAD. Первоначально этот программный продукт работал под управлением MS-DOS. Начиная с MathCAD 3 система была ориентирована на Windows. На сегодняшний день MathCAD является одним из ряда Windows-приложений. Для чего предназначается MathCAD? Вообще, математическими системами, универсальными математическими пакетами (средами) называют пакеты прикладных программ, содержащие разнообразные инструменты для решения математических и прикладных задач. Существует достаточно большое количество литературы (справочной, учебной и научно-популярной), посвященной MathCAD. Можно отметить одну очень важную особенность, выгодно отличающую MathCAD от других математических пакетов (Matlab, Math, Maple, Derive и др.). Математические выражения, обрабатываемые в MathCAD, почти в точности повторяют обычную математическую символику. Эта и другие не менее важные характеристики пакета позволяют готовить в MathCAD обширные по содержанию и яркие по оформлению учебные материалы для целого ряда дисциплин. Материал, подготовленный на MathCAD, дает обучаемым возможность получать столько примеров, сколько необходимо для понимания темы.

Данное пособие содержит лабораторные работы по математике для экономистов и экономико-математическим методам и моделированию. Проведение лабораторных работ предполагается параллельно или следуя за соответствующими лекционными и практическими занятиями. Для обеспечения подобных занятий необходимы ПЭВМ с объемом оперативной памяти не менее 16 Мбайт. Каждая лабораторная работа содержит условие задачи и её решение в среде MathCAD. Решение задачи объединяет ввод исходных данных, ввод расчетных формул и вывод результатов. Данный список лабораторных работ далеко не полный и предполагает многочисленные и разнообразные дополнения. Это очень интересный материал для творческой исследовательской работы студентов.

Вводная лабораторная работа

Этот параграф предназначен для первого знакомства с приемами работы в среде MathCAD. Здесь приведено подробное описание того, как в MathCAD можно выполнить простейшие арифметические вычисления, ввести выражение, содержащее переменные, определить функцию и построить её график, решить уравнение или систему уравнений. Выполняйте последовательно все действия, указанные в решениях. Выполнив предписанное читатель сам сообразит, что произошло, и каким способом достигнут результат. Для сокращения записи условимся обозначать клавиши, которые нужно нажимать на клавиатуре, угловыми скобками: например, <x> означает, что необходимо нажать клавишу х; <Shift>+<x> означает, что нужно нажать клавишу Shift и, не отпуская её, - клавишу х; <Space> - пробел; <Backspace> - удаление влево.

Итак, на рабочем столе щелкните мышью кнопку Пуск, наведите мышь на строку Программы, далее – на строку Mathsoft Apps и щелкните по строке MathCAD 2000 Professional. Появится заставка программы. Затем появится рабочее окно пакета, и приступайте к работе. Если после заставки на фоне рабочего документа появится окно Tip of Day, закройте его. Обратите внимание на белое пространство на экране. Это окно рабочего документа MathCAD – пространство, в котором располагаются все введенные команды и выражения, куда MathCAD выводит результаты вычислений и графики. Содержание этого окна можно редактировать, форматировать, сохранять в файлах, печатать и др.

Задача 1. Вычислить арифметические выражения

Решение:

Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе. Вы увидите крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод.
Введите первое арифметическое выражение, последовательно нажимая клавиши на клавиатуре <2>, <2>, <+>, <1>, <5>, </>, <3>, <Space>, <->, <7>, </>, <2>. Обратите внимание на экран. Вы должны увидеть заданное выражение, обрамленное прямоугольной рамкой, причем число 2 выделено угловой рамкой (синего цвета).
Введите с клавиатуры знак равенства, нажав клавишу <=>, вы увидите после знака равенства мгновенно вычисленное значение выражения 23,5.
Щелкните мышью справа внизу возле цифры 3. Вы увидите, что 3 выделено синей угловой рамкой. Нажмите <Backspace>. Вы увидите, что теперь значение выражения не определено, место ввода помечено черной меткой и ограничено угловой рамкой.
Введите с клавиатуры цифру 5 и щелкните мышью вне выделяющей рамки (или нажмите <Enter>). Вы увидите измененное выражение и её значение 21,5.
Теперь удалите выражение. Щелкните мышью по любому месту в выражении и нажимайте клавишу <Space> до тех пор, пока все выражение не будет выделено угловой синей рамкой. Нажмите <Backspace> (поле ввода окрасится в черный цвет) и, нажав клавишу <Del>, удалите выделенное. Выражение исчезнет с экрана.
Введите с клавиатуры второе арифметическое выражение.
Найдите на экране панель математических инструментов MathCAD (группа из 8 кнопок с изображением калькулятора, графика, матрицы и т.п.). Если таковой не окажется, то щелкните по пункту меню View, в открывшемся меню наведите мышь на строку Toolbar и пометьте строку Math. В панели математических инструментов щелкните по кнопке с изображением черной шапочки. Откроется панель символьных вычислений. Щелкните по кнопке с изображением стрелки (левая верхняя кнопка). Вы увидите соответствующий знак после выражения. Нажмите <Enter>. В результате вы увидите вычисленное значение выражения в виде обыкновенной дроби.

Замечание 1. Если при вводе выражения была допущена ошибка, выделите неправильный символ угловой рамкой (щелкните справа внизу возле символа), удалите выделенный символ (<Backspace>) и введите в помеченной позиции исправление.

Задача 2. Вычислить значение выражения

при a=2, b=3, c=4.

Решение:

Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе.
Введите значение переменной а, нажимая последовательно клавиши <a>, <Shift>+<:>,<2>. Вы увидите после а знак присваивания “:=”.
Аналогично введите значения переменных b и с.
Ниже введенных значений a, b и с введите данное выражение, выполняя следующие действия:

во-первых, щелкните по кнопке с изображением калькулятора панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке с изображением квадратного корня; вы увидите на экране соответствующий символ с помеченным место ввода подкоренного выражения;
нажмите клавиши <a>, <Space>, <+>, <b>, <+>, <c>, <Shift>+<6>, <2>, <Space>, <Space>, </>, <2>, < = >; и щелкните по свободному месту вне поля ввода.

Замечание 2. MathCAD читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее или ниже определенных для него значений переменных.

Задача 3. Построить график функции

Решение:

Щелкните по свободному месту в рабочем документе.
Введите функцию, последовательно нажимая клавиши <f>, <(>, <x>, <)>, <Shift>+<:>, <x>, <Shift>+<6>, <Space>, <+>, <8>, <*>, <x>, <+>, <1>.
Щелкните по свободному месту в рабочем документе ниже введенной функции, затем – по кнопке с изображением графика в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по левой верхней кнопке. Появится поле для построения графика.
В нижнюю помеченную позицию введите с клавиатуры имя аргумента х, затем щелкните по помеченной позиции с левой стороны, введите с клавиатуры f(x) и щелкните вне прямоугольной рамки.
Щелкните по пункту X-Y-Plot строки Graph меню Format. В появившемся окне настройки параметров изображения пометьте пункты Crossed и Equal Scales и щелкните OK.
Щелкните по полю графика, затем – по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите <Backspace> и введите с клавиатуры -20. Аналогично измените правую границу аргумента и границы изменения функции f(x). Щелкните вне поля графика.

Задача 4. Вычислить значение функции

при t=2. Вычислите значения функции для всех t=0,1,2,…,9.

Решение:

Щелкните по свободному месту в рабочем документе.
Введите функцию. <Enter>.
Введите с клавиатуры <f>, <(>, <2>, <)>, < = >, <Enter>.
Введите с клавиатуры <t>, <Shift>+<:>, <0>, <;>, <9>, <Enter>.
Введите с клавиатуры <f>, <(>, <t>, <)>, < = >. В результате под именем функции появится таблица значений функции.

Задача 5. Решите уравнение

Решение:

Щелкните по свободному месту в рабочем документе.
Введите ключевое слово Given.
Ниже введите с клавиатуры уравнение, причем при вводе знака равенства нажмите <Ctrl>+< = >.
Ниже введите Find(x) ® (стрелка из панели символьных вычислений) и щелкните <Enter>. В результате появится столбец, содержащий значения корней уравнения.

Замечание 3. Система уравнений можно решить также по схеме Given, уравнения, Find(x, y, …).

Замечание 4. Сохранение рабочего документа в файле, открытие нового рабочего документа, чтение рабочего документа из файла выполняются стандартным для WINDOWS-приложений образом (с помощью меню File).

В последующих лабораторных работах указания к действиям не так подробны, но после каждого указания приводятся соответствующие выражения, вводимые или выводимые на экран.

Раздел 1

Лабораторная работа №1

Задачи линейной алгебры

Задача 1. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Введите столбец свободных членов:

5) Вычислите определитель матрицы системы:

6) Вычислите определители матриц ?i, полученных из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов:

7) Найдите решение системы по формулам Крамера:

Задача 2. Решите как матричное уравнение Ax=b систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Вычислите решение системы по формуле , предварительно вычислив определитель матрицы системы:

5) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

6) Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений:

Задача 3. Найдите методом Гаусса решение системы линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы, используя функцию augment(A,b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы А справа столбец свободных членов b:

5) Приведите расширенную матрицу к ступенчатому виду, используя функцию rref(Ar), которая приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы метода Гаусса:

6) Сформируйте столбец решения системы, используя функцию submatrix(Ag,1,4,5,5), которая выделяет блок матрицы Ag, расположенный в строках с 1-ой по 4-ый и в столбцах с 5-го по 5-ый (последний столбец):

7) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

Задача 4. Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

3) Введите матрицу системы:

4) Вычислите ранг матрицы системы:

5) Приведите матрицу системы к ступенчатому виду:

6) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

7) Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных:

8) Запишите общее решение системы:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

Задача 5. Исследуйте неоднородную систему:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы:

5) Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод о совместности системы:

6) Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду:

7) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и разрешите её относительно базисных переменных:

8) Запишите общее решение:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

Лабораторная работа №2

Задачи математического анализа

Задача 1. Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену.

Функция спроса - .

Функция предложения -

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите функцию спроса:

3) Введите функцию предложения:

4) Постройте на одном графике кривую спроса и кривую предложения:

5) Найдите графически координаты точки пересечения. Для этого щелкните по строке Trace в пункте Graph меню Format, затем щелкните по полю графиков и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения кривых. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты x в окне и есть искомое значение количества товара Q, при котром достигается равновесная цена P - значение координаты y в окне.

6) Вычислите равновесную цену P аналитически:

Задача 2. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн. тенге. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов

а) ежегодном,

б) поквартальном,

в) непрерывном.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите величину вклада:

3) Введите величину процентной ставки:

4) Введите срок вклада:

5) Определите величину вклада через t0 лет при ежегодном начислении процентов с использованием простых процентов:

6) Определите величину вклада с использованием сложных процентов

при ежегодном начислении процентов

при поквартальном начислении процентов

при непрерывном начислении процентов

Задача 3. Зависимость между издержками производства y и объемом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден. ед.) Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите объем продукции и заданную функцию:

3) Определите функцию средних издержек (на единицу продукции) и определите средние издержки при объеме продукции x0:

4) Определите функцию предельных издержек и определите предельные издержки при объеме продукциии x0:

5) Изобразите на графике функции:

Задача 4. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией (ден. ед./ч), где t - время в часах от начала работы, . Найти функцию , выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите время рабочего дня:

3) Введите функцию производительности:

4) Определите функцию объема продукции и его величину за рабочий день:

5) Изобразите график функции f(t) на промежутке [0,T0]:

Задача 5. Постройте график и изокванты производственной функции

Вычислите предельные продукты труда и капитала, а также коэффициент заменяемости ресурсов.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите производственную функцию:

3) Постройте график производственной функции и изокванты:

4) Вычислите предельный продукт труда:

5) Вычислите предельный продукт капитала:

6) Вычислите коэффициент заменяемости ресурсов:

Лабораторная работа №3

Дифференциальные уравнения

Задача 1. Найти решение уравнения с разделенными переменными ydy=(exp(x)/1+exp(x))dx, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1 (задача Коши). Изобразите график решения (интегральную кривую, проходящую через точку (0,1)).

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Установите режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали, установив метку Horizontaly в окне диалога строки Evaluation Style меню Symbolics.

3) Введите начальные условия y(x0)=y0:

4) Если уравнение имеет вид Y(y)dy=X(x)dx, определите подынтегральные функции Y(y) и X(x):

5) Вычислите символьно интегралы с переменными верхними пределами и нижними пределами, равными начальным условиям x0 и y0:

6) Запишите уравнение , задающее неявно y(x) как функцию x, и решите его символьно относительно переменной y:

7) Выбираете решение, удовлетворяющее условию y(0)=1, и определите как функцию переменной x:

8) Постройте график найденного решения:

Задача 2. Решите на отрезке [0,3] задачу Коши y'=sin(xy), y(0)=1 методом Рунге-Кутты с постоянным шагом на сетке из 20 (40, 100) равнооотстоящих узлов.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1:

3) Присвойте начальное значение решения переменной y1:

4) Определите правую часть уравнения f(x,y):

5) Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,x1,x2,npoints,f), где у - вектор начальных условий, х1 и х2 - концы отрезка интегрирования, npoints- число узлов на отрезке интегрирования, f - правая часть уравнения. В результате получите матрицу размерности (npoints, 2), в первом столбце которой содержатся значения х, во втором - значения у.

6) Постройте на одном графике найденные решения:

Задача 3. Решите на отрезке [0,3] задачу Коши у"=ехр(-ху), у(0)=1, у'(0)=1 методом Рунге-Кутты с постоянным шагом на сетке из 20 (40 , 100) равноотстоящих узлов.

Решение:

Сведите решение задачи для уравнения к задаче для системы. Обозначьте у1(х)=у(х) и у2(х)=у'(х). Поскольку у"(х)=(у'(x))'=y2'(x), то получим

у1'=y2 y1(0)=1

y2'=exp(-xy1) y2(0)=1

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1:

3) Присвойте начальное значение решения вектору-столбцу с именем у:

4) Определите правую часть уравнения, присвойте соответствующие выражения элементам вектора-столбца с именем f(x,y):

5) Вычислите решение, используя функцию rkfixed:

6) Постройте на одном графике найденные решения:

Задача 4. Найдите общее решение однородного уравнения y''+2y'+3y=0. Решите задачу Коши с начальными условиями у(0)=1, y'(0)=1. Проверьте правильность решения. Изобразите его график.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1:

3) Запишите характеристический многочлен уравнения и найдите его корни:

4) Если характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня l 1 и l 2, то фундаментальная система решений имеет вид и . Если характеристическое уравнение имеет 2 равных действительных корня l 1=l 2=l , то фундаментальная система решений имеет вид и . Если характеристическое уравнение имеет 2 комплексных корня l 1=a +ib и l 2=a -ib , то фундаментальная система решений имеет вид и .

Запишите функции фундаментальной системы решений:

5) Запишите общее решение уравнения (как функцию переменных х, с1 и с2):

6) Найдите значения констант с1 и с2, при которых выполняются заданные начальные условия у(0)=1 и у'(0)=1:

7) Запишите решение задачи Коши:

8) Проверьте решение подстановкой в уравнение:

9) Проверьте выполнение начальных условий:

10) Постройте график решения:

11) Решите задачу Коши методом Рунге-Кутты и постройте график приближенного решения:

12) Сравните графики.

Задача 5. Найдите общее решение неоднородного уравнения y''+2y'+3y=x*x+1. Проверьте правильность решения.

Решение:

Общее решение линейного неоднородного уравнения записывается как сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1:

3) Найдите общее решение однородного уравнения у"+2y'+3y=0:

4) Запишите выражение для частного решения как функцию переменной х и неизвестных коэффициентов. Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения.

5) Подставьте выражение частного решения в левую часть уравнения:

6) В полученном выражении приведите подобные отностительно степеней х, для чего выделите переменную х и щелкните по строке Collect в меню Symbolics:

7) Приравняв коэффициенты при степенях х полученного выражения левой части уравнения и выражения правой части, запишите и решите систему относительно параметров а1, а2, а0: